黄梅一中2013年秋季高二年级期中考试（理科）数学试题

命题人：杨佑华 审题人：聂 勇

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：（每题5分，共50分）

1、已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、在空间中，若
、
表示不同的平面，
、
、
表示不同直线，则以下命题中正确的有（ ）

①若
∥
，
∥
，
∥
，则
∥
②若
⊥，
⊥
，
⊥
，则
⊥

③若
⊥
，
⊥
，
∥
，则
∥
④若
∥
，
，
，则
∥

A．①④ 　　　 B．②③ 　 　 C．②④ 　　 D．②③④

3、
，
，
，
的平均数为
，方差为
，则数据
，
，
，
的平均数和

方差分别是（ ）

Ａ．
和
Ｂ．
和
Ｃ．
和

Ｄ．
和

4、已知三个正态分布密度函数
（
，
）的图象如图所示，则（ ）

A．
，

B．
，

C．
，

D．
，

5、
展开式中不含
的项的系数绝对值的和为243，不含
的项的系数绝对值的和为32，则
的值可能为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6、直线
和
将圆
分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）

A．120种 B．240种 C．260种 D．280种

7、给出下列五个命题：

①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的

样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；

②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；

③一组数据为
，0,1,2,3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；

④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为
中，

则
；

⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：

克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品

净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或

等于98克并且小于104克的产品的个数是90．

其中真命题为（ ）

A．①②④ B．②④⑤

C．②③④ D．③④⑤

8、实数
.设函数
的两个极值点为
,现向点

所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使
且x2≥1的区域的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、下图是计算函数
的值的程序框图，则在①、②、

③处应分别
填入的是（ ）

A．
，
，

B．
，
，

C．
，
，

D．
，
，

10、一个几何体的三视图如下左图所

示，则此几何体的体积是（ ）

A．112 B．80

C．72 D．64

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题 （每题5分 共25分）

11、某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限
轴上的整点），其运动规律

为
或
。若该动点从原点出发，经过6步运动到

（6,2）点，则有 种不同的运动轨迹。

12、一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，

然后放回，直到红球出现3次停止，则
．（X表示次数）

13、设
为奇数，则
除以9的余数为 ．

14、已知
与
．直线MN过点
与

点
，则坐标原点到直线MN的距离是 ．

15、过点P(
,3)的直线，交圆
于A、B两点，Q为圆上任意一点，且Q到AB

的最大距离为
，则直线l的方程为 ．

三 解答题

16、（12分）已知甲、乙、丙等6人 .（请写出必要的过程和步骤）

（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？

（2）这6人同时参加6

项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（6人都必须参加活动）

（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率．（6人都必须参加活动）

17、（12分）如图，已知正三棱柱
的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱

上，且不与点C重合．

（1）当
时，求证：
；

（2）设二面角
的大小为
，求
的最小值．

18、（12分）2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情

况将居民分为三类: 第一类的用电区间在
，第二类在
，第三类在

（单位：千瓦时．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直

方图如图所示．

（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；

（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民

代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，

求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；

（3）若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力

部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月

从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一

类居民，则发放礼品一份，设X为获奖户数，求X的数学期望
与方差
．

19、（12分）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软

件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样

本人数如下表：

班级

一

二

三

四



人数

3

2

3

4



（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；

（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择A、B两个

软件学习的概率每个都是
，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学

生中下午自习时间选软件C的人数为
，求
的分布列和数学期望．

20、（13分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为
100分）进行统计，统计结果见下表。请你根据频率分布表解答下列问题：

（1）填充频率分布表中的空格。

（2）为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同

学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？

（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的

值．

21、（14分）已知点A，B的坐标分别是
，
．直线AM、BM相交于点M，且它们的斜

率之积为
．

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）若过点
的两直线
和
与轨迹E都只有一个交点，且
,求h的值；

（3）在
轴上是否存在两个定点C，D，使得点M到点C的距离与到点D的距离的比恒为
，

若存在，求出定点C，D；若不存在，请说明理由．

黄梅一中2013年秋季高二年级期中考试（理科）数学试题

1—10 ABCDD CBCBB

11． 9 12．
13．7 14． 1 15．
或

16．【答案】（1）63

（2）504

（3）

【解析】

试题分析：解：（1）

故共有63种不同的
去法 4分

（2）

故共有504种不同的安排方法 8分

（3）

故每项活动至少有1人参加的概率为
… 13分

考点：组合数公式以及排列数，概率

点评：主要是考查了组合和排列在实际生活中的运用，属于基础题

17．

【答案】解法一：过E作
于N，连结EF．

（I）如图1，连结NF、
，由直棱柱的性质知，底面ABC
侧面
．

又底面
侧面
=AC，且
底面ABC，所以
侧面
，

∴NF为EF在侧面
内的射影，

在
中，
=1，则由
，得NF//
，

又
故
，由三垂线定理知

（II）如图2，连结AF，过N作
于M，连结ME，由（I）知
侧面
，

根据三垂线定理得
,所以
是二面角C—AF—E的平面角，即
．

设
，在
中，

在
故

又
，故当
即当
时，
达到最小值，

，此时F与
重合．

18．【答案】(1) 中位数为155.,平均数156.8；(2)
（3）8,1.6.

【解析】

试题分析：(1)读懂频率分布直方图，借助平均数和中位数的定义直接求解；（2）利用分层抽样的比例关系确定户数，然后利用随机事件的概率进行求解;(3)利用二项
分布求解
的数学期望
与方差
.

试题解析：(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155. (2分)

平均数为

. (4分)

(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为
. (8分)

(
3) 由题可知，该小区内第一类用电户
占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数
的数学期望
，方差
. (12分)

考点：1.括中位数与平均数的求法;2.基本概率的应用;3.离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差.

19．【答案】（1）
；（2）
的分布列如下
























的期望是
.

【解析】

试题分析：（1）求出基本事件的总数：
，再分别在四个班中取2人，构成基本事件即可；

（2）由题知
可取0、1、2、3，分别求出概率来即可，此题符合二项分布.

试题解析：(1)设“从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级”的事件为

则
.

答：从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级的概率是
.

(2)

由题设知，每个人选软件C概率均为
.

，

，

，

.

的分布列如下
























的期望是
.

考点：1、古典概型；2、排列组合；3、随机变量的分布列及其数学期望.

20．【答案】

……………………5分

…
………………8分

21．【答案】

（1）轨迹
的方程为

（2）

（3）存在定点
，
或
，

【解析】

试题分析：解： （1）设点
的坐标为

由题可知
,即
，

化简得
，

所以点
的轨迹
的方程为

4分

（2）分四种情况讨论

情况一：当直线
和
都与
相切时，直线
和
与轨迹
都只有一个交点。

设直线
的方程为
，即

由
可知直线
的方程为
，即

因为直线
和
都与
相切，所以