南郑中学13—14学年度第二学期高二期末考试数学试题（卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ）

A．5 B.4 C.3 D.2

2．复数
的实部是 （ ）

A． B． C．
D．

3.在等差数列
中，
，则
的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．

4．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )

A．
B．

C．1 D．

5.条件
，条件
，则
是
的（? ）

A．充分非必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

6. 运行右图所示框图的相应程序,若输入
的值分别为

和
,则输出M的值是（ ）

A.0 B.1 C. 2 D. －1

7．已知双曲线
的左、右焦点分别为

,过
作双曲线
的一条渐近线的垂线,垂足为
,若
的中点
在双曲线
上,则双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．3。

8. △ABC的三个内角，，
所对的边分别为，
，，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.设第一象限内的点
满足约束条件
，

若目标函数

的最大值为40，则
的最小值为（ ）

（A）
（B）
（C）1 （D）4

10．已知
是R上的偶函数，若将
的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若
则
=

（A）0 (B)1 （C）－1 ( D)－1004.5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（每小题5分，共25分）：

11. 已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a－2b)与c共线，则k＝________.

12．观察下列式子：

,…,根据以上

式子可以猜想：
_________;

13．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是 。

14.如图所示，在一个边长为1的正方形
内，曲线

和曲线
围成一个叶形图（阴影部分），向正方形

内随机投一点（该点落在正方形
内任何一点是等可能的），

则所投的点落在叶形图内部的概率是 .

15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，

如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（选修4—5 不等式选讲） 若对于任意实数x

不等式
恒成立，则实数的取值范围是： ；

B．(选修4—1 几何证明选讲）如图，已知
的两条直

角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB

交于点D，则BD的长为 ；

C．（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与

x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为
（
为参数），

直线
的极坐标方程为
．点P在曲线C上，则点P到直线
的距离的最小值为 ．

三、解答题（本题6小题,共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

16、(本小题满分12分)设函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）当
时，
的最大值为2，求的值，并求出
的对称轴方程．

17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中,
底面
,且底面
为正方形,
分别为
的中点．

（I）求证:
平面
;

（II）求平面
和平面
的夹角.

18.（本小题满分12分）已知等差数列
的公差大于0,且
是方程
的两根,数列
的前n项的和为
，且
.

?（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）记
,求证：
.

19.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

(ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有
名学生被考官D面试，求
的分布列和数学期望.

20．（本题满分13分）设椭圆
：
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，
为坐标原点。

（Ⅰ） 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆过原点
，求
到直线
的距离。

21．（本题满分14分）

已知函数
。

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线
与直线
垂直，求实数的值；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：

高二数学答案

一、选择题(共10小题，满分50分)：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

A

A

C

A

A

B

C





二、填空题（共5小题，满分25分）：

11.1 12.
13.2

14.
15. A.
B.
C. 5

三、解答题（本题6小题,共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

16、解：（1）

……………………………………… 2分

则
的最小正周期
， …………………………………………4分

且当
时
单调递增．

即
为
的单调递增区间

（写成开区间不扣分）． …………………………………………………6分

（2）当
时
，当
，即
时
．

所以
．……………………………………9分

为
的对称轴．……………………12分

17. 解：（I）如图，以为原点,以
为方向向量

建立空间直角坐标系

则
.

.……………………………4分

设平面
的法向量为

即

令

则
. ……………………………………………4分

又
平面
平面
……………………………………6分

（II）底面
是正方形,
又
平面

又
,
平面
。……………………8分

向量
是平面
的一个法向量,
又由（1）知平面
的法向量
. ……………………………………10分

二面角
的平面角为
. ……………………………………12分

18.解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程
的两根，且数列
的公差d>0，

∴a3=5，a5=9，公差

∴
………………3分

又当n=1时，有b1=S1=1－

当

∴数列{bn}是等比数列，

∴
…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
…………9分

∴

∴
…………………………12分

19.解：(1) 第三组的频率为0.065=0.3；

第四组的频率为0.045=0.2；

第五组的频率为0.025=0.1. ……………………3分

(2)(ⅰ)设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试

P(M)=
=
…………—————6分

(ⅱ)

0

1

2



P









 ——————10分

——————12分

20．解：（Ⅰ）
，右焦点
到直线
的距离
，

则
，且
，所以
，

所以椭圆
的的方程是：

（Ⅱ）设直线
：
，那么：
，

则
，

又因为直线
与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆过原点
，

，

，化简得
，即

所以
到直线
的距离为

21．. 解：（Ⅰ）函数的定义域为
，

所以

又切线
与直线
垂直，

从而
，解得

（Ⅱ）若
，则
则
在
上是增函数

而
不成立，故

若
，则当
时，
；当
时，
所以
在
上是增函数，在
上是减函数

所以
的最大值为

要使
恒成立，只需
，解得

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，有
在
上恒成立，且
在
上是增函数，
所以
在
上恒成立 。

令
，则

令
则有

以上各式两边分别相加，得

即
故