合阳中学校2014-2015学年度10月月考试题数学试题（卷）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为
，则S5=（　　）

A．

35

B．

33

C．

31

D．

29



2．在△ABC中，若b2+c2﹣bc=a2，则A=（　　）

A．

150°

B．

120°

C．

60°

D．

30°



3．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（　　）

A．

8

B．

﹣8

C．

±8

D．





4．在
中，
，
，
，则等于 （　　）

A.
B.
C.
或
D. 以上答案都不对

5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）

A．



B．



C．



D．





6．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15浬每小时的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东10°方向上．经过40分钟，轮船与灯塔的距离是
浬，则灯塔和轮船原来的距离为（　　）

A．

2
浬

B．

3浬

C．

4浬

D．

5浬



7．有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ）

A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=
bc，sinC=2
sinB，则A=（　　）

A．

30°

B．

60°

C．

120°

D．

150°



9．在等比数列
中，
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

10．在有穷数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把
称为数列{an}的“优化和”，现有一个共2009项的数列{an}：a1，a2，a3，…，a2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列1，a1，a2，a3，…，a2009的“优化和”为（　　）

A．

2008

B．

2009

C．

2010

D．

2011



第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若 a=ccosB，且b=csinA，那么△ABC的形状是

12．已知
的前项之和
，则此数列的通项公式为_________．

13．若不等式
的解集是
，则
的值为________。

14.已知数列{ a n }满足条件a1 = –2 , a n + 1 =2 +
, 则a 5 =

15．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，

当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．

17．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度θ，求cosθ的值．

18．若S
是公差不为0的等差数列
的前n项和，且
成等比数列。

(1)求等比数列
的公比；

(2)若
，求
的通项公式；

（3）设
，
是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m。

19．若不等式
对一切
恒成立，试确定实数的取值范围．

20．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

21． 已知二次函数
满足条件:

①
; ②
的最小值为
.

(Ⅰ) 求函数
的解析式;

(Ⅱ) 设数列
的前项积为
, 且
, 求数列
的通项公式;

(Ⅲ) 在(2)的条件下, 若
是
与
的等差中项, 试问数列
中第几项的值最小? 求出这个最小值.

合阳中学2013级（高二）

第一次月考数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题

1．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为
，则S5=（　　）

A．

35

B．

33

C．

31

D．

29





解：a2?a3=a1q?a1q2=2a1∴a4=2 a4+2a7=a4+2a4q3=2×

∴q=
，a1=
=16故S5=
=31故选C．



2．在△ABC中，若b2+c2﹣bc=a2，则A=（　　）

A．

150°

B．

120°

C．

60°

D．

30°





解：∵b2+c2﹣bc=a2，∴bc=b2+c2﹣a2由余弦定理的推论得：

=
=
又∵A为三角形内角∴A=60°故选C．



3．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（　　）

A．

8

B．

﹣8

C．

±8

D．







解：由题得
，

又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3

∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．



4．在
中，
，
，
，则等于 （　　）

A.
B.
C.
或
D. 以上答案都不对

解:选 A

5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）

A．



B．



C．



D．







解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，

则b=
a，
=
，故选B．



6．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15浬每小时的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东10°方向上．经过40分钟，轮船与灯塔的距离是
浬，则灯塔和轮船原来的距离为（　　）

A．

2
浬

B．

3浬

C．

4浬

D．

5浬





解：由题意，设灯塔和轮船原来的距离为x浬

如图，在△OAB中，OA=
=10浬，AB=
浬，

∠AOB=60°，由余弦定理可得

（
）2=102+x2﹣2×10×x×cos60°，

即x2﹣10x+25=0，∴x=5故选D．



7．有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ）

A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定

答案 B

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=
bc，sinC=2
sinB，则A=（　　）

A．

30°

B．

60°

C．

120°

D．

150°





解：∵sinC=2
sinB，∴c=2
b，∵a2﹣b2=
bc，

∴cosA=
=
=
∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．



9．在等比数列
中，
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

解答:
，
，
故选C

10．在有穷数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把
称为数列{an}的“优化和”，现有一个共2009项的数列{an}：a1，a2，a3，…，a2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列1，a1，a2，a3，…，a2009的“优化和”为（　　）

A．

2008

B．

2009

C．

2010

D．

2011





解：∵
∴S1+S2+S3+…+S2009=2009×2010，

S1=a1，S2=a1+a2，…S2009=a1+a2+a3+…a2009∴所求的优化和=[1+（1+a1）+（1+a1+a2）+…+（1+a1+…+a2008）+（1+a1+…+a2009）]÷2010

=[1+（ 1+S1）+（1+S2）+…+（1+S2008）+（1+S2009）]÷2010

=[2010×1+（S1+S2+…+S2009）]÷2010=[2010+2009×2010]÷2010

=1+2009=2010 故选C．



二、填空题

11．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a=ccosB，且b=csinA，那么△ABC的形状是

解：由余弦定理得：a=c?
?a2+b2=c2，所以∠C=90°，

在Rt△ABC中，sinA=
，所以b=c?
=a，所以△ABC是等腰直角三角形；



12．已知
的前项之和
，则此数列的通项公式为_________．

解：当n=1时，
当n≥2时，
∵21-1=1≠3，∴

13．若不等式
的解集是
，则
的值为________。

答案：

14.已知数列{ a n }满足条件a1 = –2 , a n + 1 =2 +
, 则a 5 =

答案：

15．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，

当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 ．

解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8．在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次．三、解答题

16．等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．

解：设数列{an}的公差为d，则a3=a4﹣d=10﹣d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d．由a3，a6，a10成等比数列得a3a10=a62，

即（10﹣d）（10+6d）=（10+2d）2，整理得10d2﹣10d=0，解得d=0或d=1．

当d=0时，S20=20a4=200．当d=1时，a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7，

于是
=20×7+190=330．



17．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度θ，求cosθ的值．

解：在△ABC中，AB=100m，∠CAB=15°，∠ACB=45°﹣15°=30°，

∴由正弦定理得：
=
，

解得：BC=200sin15°（m），

在△DBC中，CD=50m，∠CBD=45°，∠CDB=90°+θ，

sin15°=sin（45°﹣30°）=
×
﹣
×
=
，

∴由正弦定理得：
=
，

解得：sin（90°+θ）=cosθ=
=
﹣1．



18．若S
是公差不为0的等差数列
的前n项和，且
成等比数列。

(1)求等比数列
的公比； (2)若
，求
的通项公式；

（3）设
，
是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m。

解：∵数列{an}为等差数列，∴
，

∵S1，S2，S4成等比数列， ∴ S1·S4 =S22

∴
，∴
∵公差d不等于0，∴

（1）

（2）∵S2 =4，∴
，又
，∴
， ∴
。

（3）∵

∴
…

要使
对所有n∈N*恒成立，∴
，
，

∵m∈N*， ∴m的最小值为30。

19．若不等式
对一切
恒成立，试确定实数的取值范围．

解： 当
时，原不等式变形为
，恒成立，

即
满足条件；　　

当
时，要使不等式
对一切
恒成立，

必须

　　

，解得，
．　综上所述，的取值范围是
．

20．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

解：(1)由acosC＋c＝b和正弦定理得，sinAcosC＋sinC＝sinB，

又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC，

∵sinC≠0，∴cosA＝，∵0

(2)由正弦定理得，b＝＝sinB，c＝＝sinC，

则l＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)＝1＋[sinB＋sin(A＋B)]

＝1＋2(sinB＋cosB)＝1＋2sin(B＋)．

∵A＝，∴B∈(0，)，∴B＋∈(，)，∴sin(B＋)∈(，1]，

∴△ABC的周长l的取值范围为(2,3]．

21． 已知二次函数
满足条件:

①
; ②
的最小值为
.

(Ⅰ) 求函数
的解析式;

(Ⅱ) 设数列
的前项积为
, 且
, 求数列
的通项公式;

(Ⅲ) 在(2)的条件下, 若
是
与
的等差中项, 试问数列
中第几项的值最小? 求出这个最小值.

解: (Ⅰ)题知:
, 解得
, 故
.

(Ⅱ)