2014—2015学年度上学期第一阶段考试高二数学科（理科）试卷

答题时间：120分钟 满分：150分

命题人：高二数学备课组 使用时间：10月15日

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 平面内有一长度为4的线段
，动点满足
，则
的取值范围是

A．
　　 B.
　　 　　 C.
　　 　 D.

2. 以下命题正确的个数为

①命题“若
”的否命题为“若
”；

②命题“若
则
”的逆命题为真命题；

③命题“
”的否定是“
”；

④“
”是“
”的充分不必要条件.

A．1 B. 2 C.3 D.4

3. 设
为坐标原点，点
坐标为
，若
满足不等式组：
，则
的最大值为

A. 12 B. 8 C. 6 D. 4

4．已知命题p： x∈R，使sinx=
；命题q： x∈R，都有x2+x+1>0.给出下列结论：①命题“
”是真命题； ②命题“
”是假命题； ③命题“
”是真命题； ④命题“
”是假命题；其中正确的是

②③ B．②④ C．③④ D．①②③

5. 方程
表示椭圆，则
的取值范围

A.
B.

C.
D.

6. a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“
”是“M＝N” 的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

7. 各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为
,若
,
, 则
等于

A． 150 B． (200 C．150或 (200 D． (50或400

8. 已知x
,不等式
恒成立,则实数a的取值范围为

A．
B．
C．
D．

9. 给定正整数
按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数
，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只有一个数.例如
时数表如图所示，则当
时最后一行的数是

A．
B．
C．
D．

10. 设等差数列｛
｝{
}的前n 项和为
，
，若
，则
=

A.
B.
C.
D.

11.设点是椭圆
上一点，
分别是椭圆的左、右焦点，为
的内心，若
，则该椭圆的离心率是

A.
B.
C.
D.

已知
为正实数，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 设
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在点，使
且
，则椭圆的离心率为

14. 设数列
满足
，

则
.

15. 已知正数
满足
，则
最小值是______

16. 已知在平面直角坐标系下，点
分别为轴和轴上的两个动点，满足
，点
为线段
的中点，已知点
，
，则
的最小值为______

三、解答题:本大题共6小题，共70分.

17.(本小题满分10分)

设有两个命题：
关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；
函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题
为真，
为假，则实数a的取值范围是多少？

18.（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和
．

(Ⅰ)求数
列的通项公式；

(Ⅱ)设
为数列
的前n项和，求

19.（本小题满分12分）

在
中，
.

(Ⅰ)求
重心G的轨迹方程

(Ⅱ)设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求
的最小值.

20.（本小题满分12分）

东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏。为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）。该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案。

设闯过n关
关后三种奖励方案获得的货币依次为
试分别求出
的表达式；

如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案。

21.（本小题满分12分）

数列
中，已知
，
时，
．数列
满足：
．

（Ⅰ）证明：
为等差数列，并求
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前项和为
，是否存在正整数
，使得
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对
；若不存在，说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知椭圆
，离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过
的椭圆的右焦点任作一条斜率为
（
）的直线交椭圆于A，B两点，问在右侧是否存在一点D
，连AD、BD分别交直线
于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．

2014—2015学年度上学期第一阶段考试高二数学科（理科）试卷

答题时间：120分钟 满分：150分

命题人：高二数学备课组 使用时间：10月15日

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 平面内有一长度为4的线段
，动点满足
，则
的取值范围是（　A　）

A．
　　 B.
　　　　 C.
　　　 D.

2. 以下命题正确的个数为C

①命题“若
”的否命题为“若
”；

②命题“若
则
”的逆命题为真命题；

③命题“
”的否定是“
”；

④“
”是“
”的充分不必要条件.

A.1 B.2 C.3 D.4

3. 设
为坐标原点，点
坐标为
，若
满足不等式组：
，则
的最大值为A

A. 12 B. 8 C. 6 D. 4

4．已知命题p： x∈R，使sinx=
；命题q： x∈R，都有x2+x+1>0.

给出下列结论：

命题“
”是真命题 ③命题“
”是真命题；

命题“
”是假命题 ④命题“
”是假命题

其中正确的是C

②③ B．②④ C．③④ D．①②③

5. 方程
表示椭圆，则
的取值范围（ D）

A.
B.

C.
D.

6. a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“
”是“M＝N” ( D )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

7. 各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( A )

A． 150 B． (200 C．150或 (200 D． (50或400

8. 已知x
,不等式
恒成立,则实数a的取值范围为（C ）

A
B
C
D

9. 给定正整数
按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数
，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只有一个数.例如
时数表如图所示，则当
时最后一行的数是 C

A.
B.

C.
D.

10. 设等差数列｛
｝{
}的前n 项和为
，
，若
，则
= B

A.
B.
C.
D.

11.设点是椭圆
上一点，
分别是椭圆的左、右焦点，为
的内心，若
，则该椭圆的离心率是 A

A.
B.
C.
D.

已知
为正实数，则
的最大值为（ B ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 设
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在点，使
且
，则椭圆的离心率为

14. 设数列
满足
，

则
.8052

15. 已知正数
满足
，则
最小值是______

16. 已知在平面直角坐标系下，点
分别为轴和轴上的两个动点，满足
，点
为线段
的中点，已知点
，
，则
的最小值为______

三、解答题:本大题共6小题，共70分.

17.(本小题满分10分)

设有两个命题：
关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；
函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题
为真，
为假，则实数a的取值范围是多少？

[解析]　记命题p：A＝{a|x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立}，

命题q：B＝{a|f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数}，

则A＝{a|－2

∵p与q中仅有一个为真命题，

∴命题p真且命题q假或命题p假且命题q真，

∴原题转化为求(A∩?RB)∪(?RA∩B)，

∵?RA＝{a|a≥2或a≤－2}，

?RB＝{a|a≥}，

∴A∩?RB＝{a|≤a<2}，

?RA∩B＝{a|a≤－2}，

18.（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和
．

(Ⅰ)求数
列的通项公式；

(Ⅱ)设
为数列
的前n项和，求

解：(Ⅰ) ∵
，∴
．

当
时，
，
，于是
；令
，则数列
是首项
、公差为
的等差数列，
；

∴
．

(Ⅱ) ∵
，

∴
，

记
①，则
②，

①-②有
，

∴
．

故

19.（本小题满分12分）

在
中，
.

(Ⅰ)求
重心G的轨迹方程

(Ⅱ)设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求
的最小值.

答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)

20.（本小题满分