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| 简介：
总分：150分 时间：150分钟 立体几何公式： 一、选择题（每小题5分，总分50分） 1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥 2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l ( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 3．一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ) A.至多只能有一个直角三角形 B.至多只能有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 4． 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球 面上，这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 5．一水平放置的平面图形的直观图如下图所示，则此平面图形的形状是（ ） 6．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( ) A．36 B．108 C．72 D．180 、 7．一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ） A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。相交 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角为错误！未找到引用源。 8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面A1C1CA所成的角的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．150° 9．如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，则 平面PAB和平面PCD所成二面角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．150°0 10.如图所示，在棱长为1的正方体的面 对角线上存在一点使得取得最小值，则此 最小值为 （ ） 对角线上存在一点使得取得最小值，则此 最小值为 （ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．已知圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积是 ． 12．下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面。 其中正确命题的序号是 13．已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别在侧棱A1A和C1C上，且AP＝C1Q，则四棱锥B－APQC的体积是______________（用含V的式子表示） 14．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）。 15．如图，在长方形中，，．现将沿折起，使平面平面，设为中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 三、解答题（共6个小题，总分75分） 16．（本小题满分14分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的： （1）试判断是否在平面内；（回答是与否） （2）求异面直线与所成的角； （3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积 17．（本小题满分14分）下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图。右边两个是正视图和侧视图. （1）请在正视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（不要求叙述作图过程）； （2）求该多面体的表面积（尺寸如图）. 18．（本题满分14分）如右图，四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求证：OE∥平面PDC； (3)求二面角P－AB－D的平面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥． （I）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明； （II）求多面体E-AFNM的体积．
20.（本小题满分12分）如右图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AF＝AD＝a，G是EF的中点． (1)求证：平面AGC⊥平面BGC； (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值． 21．（本小题满分12分）如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求： (1)设f(x)为绳子最短长度的平方，求f(x)表达式； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． DCCCCBAABD 11. 【答案】 12. 【答案】③ 13. 【答案】V 14. 【答案】BD 15. 【答案】 16. 解：（1）是 3分 （2） 7分（补全正方体即得） （3） 12分 又∵平面平面，∴直线平面 考点：空间的点线面的位置关系的运用 点评：解决的关键是利用角的定义以及几何体的体积来求解，属于基础题，考查了空间想象能力，以及计算能力。 17. 【答案】（1）（2） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）作出俯视图如下左图所示 ……………7分 俯视图 （若只画对外框，没有画对角线或对角线画错的,给3分） （Ⅱ） ……………14分 18. 解：(1)证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF＝AB. ∵AB⊥AD，AB＝AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形． ∵O为BD的中点，∴O为AF、BD的交点， ∵PD＝PB＝2，∴PO⊥BD， ∵BD＝＝2， ∴PO＝＝，AO＝BD＝， 又△PAB为等边三角形，∴PM＝2sin60°＝， PM⊥AB， ∴∠PMO为二面角P－AB－D的平面角． 在Rt△POM中，cos∠POM＝＝＝. ∴ 二面角P－AB－D的平面角的余弦值为. 19. [解析] (1)证明：正方形ABCD?CB⊥AB， ∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB， ∴AB⊥平面ABEF， ∵AG，GB?平面ABEF， ∴CB⊥AG，CB⊥BG， 又AD＝2a，AF＝a，四边形ABEF是矩形， G是EF的中点， ∴AG＝BG＝a，AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2， ∴AG⊥BG，∵BC∩BG＝B， ∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC. (2)解：由(1)知平面AGC⊥平面BGC，且交于GC， 在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H， 则BH⊥平面AGC， ∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角， ∴在Rt△CBG中， BH＝＝＝a， 又BG＝a， ∴sin∠BGH＝＝. 20. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中那些量是不变的，那些量是变化的。 解：（1）因翻折后B、C、D重合（如图）， 所以MN应是的一条中位线，………………3分 则．………6分 （2）因为平面BEF，……………8分 且， ∴，………………………………………10分 又 ∴．…………………………………12分 21. 【答案】（1）f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)（2）（3）32 【解析】 试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长， ∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝×360°＝×360°＝90°， (1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)， ∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM· SR， | ||||||||||||||||||||||||||||||
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