重庆八中2013—2014学年度(下) 期末考试高二年级数学试题（理科）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）设是虚数单位，则复数
的模等于

（A） （B） （C）
（D）

（2）整数是自然数，由于
是整数，所以
是自然数，则有

（A）大前提错误（B）小前提错误（C）推理正确（D）推理形式错误

（3）设随机变量
～
，且
，则实数的值为

（A）
（B） （C） （D）

（4）设函数
的导函数为
，若
的图象在点
处的切线方程为
，则
的值为

（A） （B） （C）
（D）

（5）在极坐标系中，圆
的极坐标方程为
，则圆
的半径为

（A） （B） （C）
（D）

（6）在区间
上随机取一个数，使
的值介于与之间的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）二项式
的展开式中的常数项为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）将甲、乙、丙、丁、戊
名大学生分配到
个乡镇去当村官，设事件为“每个乡镇至少有一名大学生村官”，事件为“甲、乙、丙三人在同一个乡镇当村官”，则概率
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）函数
的图象如图所示，下列数值排序正确的是

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）若从
这
个数中任意取出
个数，则这三个数互不相邻的取法种数有

（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上

（11）如果复数
是纯虚数，则实数
的值为 ．

（12）如右图所示，
是半径等于
的⊙
的直径，
是⊙
的弦，
的延长线交于点，若
，则
．

（13）在极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（为参数），若直线
与直线
平行，则
的值为 ．

（14）的不等式
的解集为空集
，则实数的取值范围是 ．

（15）
，
，

设函数
，若函数
的零点均在区间
内，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

某工厂对一批产品的质量进行了抽样检测，已知样本容量为
，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若规定净重在
（克）的产品为一等品，依此抽样数据，从净重在
克的产品中任意抽取个，求抽出的个产品中恰有个一等品的概率.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

如图，等腰直角三角形
所在平面与直角梯形
所在平面垂直，
且
是线段
的中点．

（Ⅰ）求证：直线
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的场比赛中得分统计的茎叶图如下：若以甲、乙两名队员得分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中的得分互不影响．

（Ⅰ）预测下一场比赛中，甲乙两名队员至少有一名得分超过分的概率；

（Ⅱ）求本赛季剩余的场比赛中甲、乙两名队员得分均超过分的次数的分布列和期望．

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）讨论
在区间
上的极值点.

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知椭圆
的短轴长为，椭圆
上任意一点到右焦点距离的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）过点
作直线
与曲线
交于
两点，点
满足
（
为坐标原点），求四边形
面积的最大值，并求此时的直线
的方程.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问4分（Ⅲ）小问5分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线；

（Ⅱ）证明：
在
上恒成立；

（Ⅲ）证明：
（
）.

重庆八中2013—2014学年度(下) 期末考试高二年级

数学试题（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

D

D

B

C

C

A

A

B



9. 法一：观察图象及导数的几何意义得：

法二：拉格朗日中值定理。

10.法一：【直接法、间接法】，此法思路简捷，但列举量较大，因此正难则反。

法二：【映射法】

法三：【挡板法】

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上

题号

11

12

13

14

15



答案













14. 解：
；

15. 解：由
可得：

当
时，有
；当
时，有
；且
。

所以当
时，有
；

当
时，有
单调递增，

又
，所以在
上函数
有且只有一个零点,即
在
上有且只有一个零点.

同理，由
可得：

当
时，有
；当
时，有
；且
。

所以当
时，有
；

当
时，有
单调递减，

又
，

，所以在
上函数
有且只有一个零点,即
在
上函数有且只有一个零点。

由于函数
的零点均在区间
内，所以
,即
,所以
的最小值为
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（Ⅰ）由频率分布直方图可知:
,

解得
……………………6分

（Ⅱ）净重在
克的产品有
个；

净重在
克的一等品产品有
个。

则所有概率为
……………………13分

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（I）取线段
的中点，连接
。

在
中，由中位线
得
；

又
且
，所以
；

所以平面
//平面
，由
平面
，所以直线
平面
.…………6分

（Ⅱ）解法一：取
中点
，则
，因平面
平面
，所以
平面
，作
与点
，则
为二面角
的平面角。

因
，且
，所以
，易知
,所以
，所以
,所以
. ………………13分

解法二：取
中点
，则
,因平面
平面
，所以
平面

如图建立空间直角坐标系，则有：
,

.易知平面
的法向量为
,设平面
的法向量为
，于是有
，解得
，令
，则
。所以
，故所求二面角的余弦值为
。

…

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（Ⅰ）根据统计结果：在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为：

，于是两人至少有一名得分超过15分的概率：

……………………………6分

（Ⅱ）依题意：
。

于是：
的分布列为：




















的期望
……………………13分

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

【解】（Ⅰ）
时,

的单调递减区间为
，单调递增区间为
……………6分

（Ⅱ）

,

①当
即
时,

在区间
上单减,
无极值点.

②当
即
时,

在区间
上单减, 在区间
单增,

的极小值点为
,无极大值点. ……………………12分

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

【解】（Ⅰ）椭圆方程为
(过程略)

（Ⅱ）因为
，所以四边形OANB为平行四边形，

当直线
的斜率不存在时显然不符合题意；[来源:学&科&网]

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
与椭圆交于
两点，由
得
…………6分

由
，得

………………8分

…………10分

令
，则
（由上可知
），