蕲春一中2014年春季期中考试高二数学试卷(理科)

试卷满分：150分

一、选择题：(每题5分，共50分)

1. 已知命题p：xy＞0，q：x＞0且y＞0，则p是q的( )条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

2. 已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y= ±x，其中一个焦点坐标为(0，5)，则双曲线方程为( )

A. －=1 B. －=1 C. －=1 D. －=1

3. 命题P：彐x＞2，x2－4＞0，那么┑P是( )

A. ?x≤2，x2－4≤0 B. 彐x≤2，x2－4≤0

C. ?x＞2，x2－4≤0 D. 彐x＞2，x2－4≤0

4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题. ②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题. ③“若x≤－3，则x2+x－6＞0”. 其中假命题的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA′与BC的中点，则A′E与BD所成角的余弦值为( )

A. 0 B.  C.  D. 

6. 已知定义在R上的函数y=f(x)在x=3处的切线方程为y=－x+2，则2f(3)+f ′(3)的值是( )

A. 0 B. －1 C. －2 D. －3

7. 定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)+xf ′(x)＜0恒成立，若a=3f(3)，b=f(1)，

c=－2f(－2)，则( )

A. a＞c＞b B. c＞b＞a C. c＞a＞b D. a＞b＞c

8. 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，则AC1与侧面ABB1A1所成角为( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

9. M是抛物线y2=6x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM=60°，则|FM|=( )

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

10. 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)= x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根的个数是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题：(每题5分，共25分)

11. 如果椭圆+=1上一点p到焦点F1的距离等于3，那么点p到另一个焦点F2的距离是_____________.

12. 函数y= 在点(，0)处切线的斜率为_____________.

13. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率为_____________.

14. 已知命题“彐x∈R，2x2+ax≤”是假命题，则a的取值范围是_____________.

15. 若函数y=f(x)，x∈D同时满足：①在D内为单调函数。②存在实数m、n，当x∈[m，n]时，f(x)的值域为[2m，2n]，则称此函数为D内的倍射函数，设f(x)=  (a＞0且a≠1)，若f(x)为R内的倍射函数，则a的取值范围为________________.

三、计算题。(16~19每题12分，20题13分，21题14分，共75分)

16. 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)=(4－3a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.

17. 如图，平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA′的长为2，且∠A′AB=∠A′AD=120°.

(1)设=，=，=，M、N分别为AB、CC′中点，且=λ+μ+m，求λ+μ+m的值.

(2)求线段AC′的长.

18. 设平面上A、B两点的坐标分别为(－5，0)、(5，0)，直线AM、BM相交于M点，且它们的斜率之积为k. (k≠0)

(1)求点M的轨迹方程. (用k表示)

(2)若点M在以(－，0)、(，0)为焦点的椭圆上，求k的值.

19. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD= CD=2，点M在线段EC上且不与E、C重合.

(I)当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；

(II)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为，求DM的长.

20. 设椭圆C：+=1(a＞b＞0)过点P(，1)，且离心率e=.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若F1、F2为椭圆的两个焦点，A、B为椭圆的两点，且=，求直线AF1的斜率.

21. 设函数f(x)=(2－a)lnx+2ax+，(a∈R).

(1)当a=－1时，求f(x)的单调区间；

(2)若对任意a∈(－4，－3)及x∈[1，2]，恒有ma－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围.

(3)当a=0时，设函数h(x)=px－，若在区间[1，e]至少存在一个x0，使得h(x0)＞f(x0)成立，试求实数p的取值范围.

蕲春一中2014年春季期中考试

高二数学试卷(理科)参考答案

一、选择题

1—10 BDCCB DAACB

二、填空题

11. 7 12. － 13. 或 14. (－2，2)

15. (0，1)∪(1，ln4)

提示：=2x ∴ax+a－2=2x·lna

令ax=t ∴t+a－2=2··=2 lnt

∴+－1=lnt

(lnt)′= 令= ∴t=2 ∴切点(2，ln2)

切线方程y－ln2=(x－2) 即y=x+ln2－1

∴ln2－1＞－1 ∴a＜ln4

又∵a＞0且a≠1 ∴a∈(0，1)∪(1，ln4)

三、解答题

16. 若p为真命题，则△=(2a)2－16＜0 ∴－2＜a＜2

若q为真命题，则4－3a＞1 ∴a＜1……………………………..(5分)

依题意，p真q假时 －2＜a＜2

a≥1 ∴1≤a＜2

p假q真时 a≤－2或a≥2

a＜1 ∴a≤－2……………………………..(10分)

综上，a的取值范围是a≤－2或1≤a＜2……………………………………..……..(12分)

17. (1) =++=++ ∴λ+μ+m=2……………………..……..(5分)

(2) =++=++

∴||2=2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=2

∴||= ∴AC′=…………………………………..………………..…..(12分)

18. (1)设M(x，y)，则kAM=  kBM=  ∴· =k

∴y2=k(x2－25) ∴点M的轨迹方程为kx2－y2=25k (x≠±5)扣1分

…………………………..………..…..(6分)

(2)由(1)知，M的轨迹方程－ =1

∴ 25＞25k＞0

25=25k+()2 ∴k= …………………………..………..…..(12分)

19. (1)取CD中点N，连MN、BN，M、N分别为CE、CD中点

∴MN∥DE

∵MN 面ADEF，DE?面ADEF ∴MN∥面ADEF

易证BN∥面ADEF MN∩BN=N

∴面BMN∥面ADEF

BM?面BMN ∴BM∥面ADEF………………………..…….………..…..(5分)

(2)面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，AD=面ADEF∩面ABCD

∴ED⊥面ABCD

∴分别以DA、DC、DE所在直线为x轴、y轴、z轴

D(0，0，0) A(2，0，0) B(2，2，0) C(0，4，0) E(0，0，2) F(2，0，2)

设=λ (λ＞0)

∴(xM，yM－4，zM)=λ(0，－4，2)

∴xM=0，y M=4－4λ，zM=2λ

∴M(0，4－4λ，2λ) 设平面BDM的法向量=(x，y，z)

∴·=(x，y，z)·(2，2，0)=2x+2y=0

·=(x，y，z)·(0，4－4λ，2λ)=(4－4λ)y+2λz=0

取y=1，则x=－1，z= =2－

∴= (－1，1，2－)

易得面ABF的一个法向量= (1，0，0)

∵|cos <，>|=  ∴= 

∴λ= ………………………..………..…………..…………………..………..…..(10分)

∴M(0， ，) ∴DM=………………………..………..…..(12分)

20. (1)由题意知=，+=1，又a2=b2+c2，∴a=2，b=，c=1

故所求的椭圆方程为+=1…………………………………. …...………..…..(6分)

(2)延长AF1交椭圆B′ 由对称性可知 =

设A(x1，y1)，B′(x2，y2) =  ∴x2=－2x1①

当直线AB′斜率不存在时，不符合

当直线AB′斜率存在时，设直线AB的斜率为k，又F1(0，1) ∴直线AF1:y=kx+1

联立 y=kx+1

+=1 消去y，得(3k2+4)x2+6kx－9=0

∴x1+x2= ② x1x2= ③

由①②③得k=± 故直线AB的斜率为±……………………..…..(13分)

21. (1)f(x)=3lnx－2x+ ∴f′(x)=－2－=－ (x＞0)

令f′(x)＞0 ∴＜x＜1

令f′(x)＜0 ∴0＜x＜或x＞1

因此，f(x)的单调增区间为(，1)，单调减区间为(0，)，(1，+∞) ………..…..(4分)

(2)当a∈(－4，－3)时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，

F(x)max= F(1) = 1+2a，由于ma－f(x)＞0，即ma＞f(x)恒成立，

∴ma＞1+2a，即ma＞1+2a对a∈(－4，－3)恒成立，∴(m－2)·a－1＞0恒成立

所以 (m－2)×(－3)－1≥0

(m－2)×(－4)－1≥0

解得m≤，故实数m的取值范围是(－∞，]………………………..…………..…..(9分)

(3)当a=0时，f(x)=2 lnx+，

令F(x)=h(x)－f(x)=px－－2 lnx－=px－－－2 lnx

①当p≤0时，由x∈[1，e]，得px－＜0，－－2＜0

从而F(x)＜0所以，在x∈[1，e]上不存在x0使得h(x0)＞f(x0)

②当p＞0时，F′(x)=

∵x∈[1，e] ∴2e－x≥0，px2+p＞0

F′(x)＞0在[1，e]上恒成立，

故F(x)在[1，e]上单调递增

∴F(x)max=F(e)=pe－－4

故只要pe－－4＞0，解得p＞

综上所述，p的取值范围是(，+∞) ………………………..…………..…..(14分)