高二年级阶段性随练习数学（理）

（2014.5.24）

填空题：

 ．为了调查城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为 ▲ ．

 ．口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 ▲ ．

 ．函数
的单调递减区间为 ▲ ．

 ．一组数据
的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．

 ．任取
，则直线
与轴、轴围成的三角形的面积小于
的概率是 ▲ ．

 ．右边的流程图最后输出的的值是 ▲ ．

 ．在平面直角坐标系
中,已知焦点为的抛物线
上的点到坐标原点
的距离为, 则线段
的长为 ▲ ．

 ．已知矩阵A =
,B =
,则矩阵
＝ ▲ ．

 ．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
▲ ．

 ．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 ▲ 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

 ．设
是椭圆
的两个焦点，为椭圆上任意一点，当
取最大值时的余弦值为
，则椭圆的离心率为 ▲ ．

 ．已知函数
图象上一点
处的切线方程为
，若方程
在区间
内有两个不等实根，则实数的取值范围是 ▲ （其中为自然对数的底数）．

 ．如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
，P是双曲线右支上的一点，
轴交于点A，
的内切圆在
上的切点为Q，若
，则双曲线的离心率是 ▲ ．

 ．已知函数
，
（
为常数），若
对于区间
上的任意两个不相等的实数
，都有
成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

解答题：

 ．已知二阶矩阵
有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．

（1）求矩阵
；

（2）求矩阵
的另一个特征值，及对应的一个特征向量
的坐标之间的关系；

（3）求直线
在矩阵
的作用下的直线
的方程．

 ．已知点
在抛物线
上，为焦点，且
．

（1）求抛物线
的方程；

（2）过点
的直线交抛物线于
两点，为坐标原点，求
的值.

 ．一个袋子内装有2 个绿球，3 个黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同），从中一次性任取 2 个球，每取得 1 个绿球得5 分，每取得1 个黄球得 2分，每取得 1 个红球得l分，用随机变量X 表示取 2 个球的总得分，已知得 2 分的概率为
．

（1）求袋子内红球的个数；

（2）求随机变量X的分布列和数学期望．

 ．图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4. 设AB=
, BC=，凹槽的强度与横截面的面积的倍成正比，且当
时凹槽的强度为
．（1）写出关于的函数表达式，并指出x的取值范围；（2）求当取何值时，凹槽的强度最大，并求出最大值．

 ．在平面直角坐标系
中，已知曲线
上的任意一点到点
的距离之和为
．

（1）求曲线
的方程；

（2）设椭圆
：
，若斜率为的直线
交椭圆
于点
，垂直于
的直线
交曲线
于点．

（i）求线段
的长度的最小值；

（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线
相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

 ．已知函数
，函数
的导函数
，且
，其中为自然对数的底数．

（1）求
的极值；

（2）若
，使得不等式
成立，试求实数的取值范围；

（3） 当
时，对于
，试比较
与
的大小，并加以证明．

高二年级下学期阶段性随堂检测

数学答题纸（2014.5.24）

一、填空题(14*5分)

1、 4

2、



3、 （0，
）

4、



5、

6、 5



7、 

8、



9、 112

10、 180



11、

12、



13、 2

14、





二、解答题