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| 简介：
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{an}中，a2＋a12＝32，则2a3＋a15的值是( ) A．24 B．48 C．96 D．无法确定 2．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是( ) A．100＋200×(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) 3．设公差d≠0的等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，则＝( ) A. B. C. D. 4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＋a7＋a13的值是一确定的常数， 则下列各式： ①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.其结果为确定常数的是( ) A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 5．等差数列{an}前n项和为Sn，满足S20＝S40，则下列结论中正确的是( ) A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为 A. B. C. D. 7．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝( ) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 9. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝( ) A . B. C. D. 10.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为（ ） A.24 B.26 C.25 D.28 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a＝2，B＝，c＝2 ，则b＝________. 12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 13．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 14．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________． 15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若=a1+a200,且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200=_________． 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积． 17．（本小题满分12分） 已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn. 18．（本小题满分12分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋ab. (1)求A； (2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值． 19．（本小题满分12分） 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，且n∈N*)，a1＝. (1)求证：是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 20．（本小题满分13分） 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 21．（本小题满分14分） 在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋ 高13级学情调研试题参考答案 理科数学 5．D 解析：∵{an}为等差数列，S20＝S40，∴a21＋a22＋…＋a40＝0. S60＝ (a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋a22＋…＋a40)＋(a41＋a42＋…＋a60)＝3(a21＋a22＋…＋a40)＝0. 6．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－， ∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝. 7．由题意a＝a3a11＝16，且a7＞0，∴a7＝4，∴a10＝a7·q3＝4×23＝25，从而log2a10＝5. 8．D 解析：∵a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得a>b>c，∴a＝c＋2，b＝c＋1. ①又∵3b＝20acosA.∴cosA＝. ②由余弦定理，得cosA＝. ③ 由②③，得＝， ④联立①④，得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)．∴由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D. 9．B 解析：b＋c＝2a，＝＝，a＝b，c＝b， cosC＝＝＝＝－，C＝π. 10． B设该等差数列为｛an｝,由题意，得a1+a2+a3+a4=21, an+an-1+an-2+an-3=67,又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,∴4(a1+an)=21+67=88, ∴a1+an=22.∴Sn==11n=286,∴n=26. 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 解：(1)由已知得到：2sinAsinB＝sinB，且B∈，∴sinB≠0. ∴sinA＝，且A∈，∴A＝. (2)由(1)知cosA＝，由已知得到： 36＝b2＋c2－2bc×?(b＋c) 2－3bc＝36?64－3bc＝36?bc＝，∴S△ABC＝××＝. 17．（本小题满分12分） 当n=1时，a1=S1=12-12=11.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-［12(n-1)-(n-1) 2］=13-2n. 又n=1时适合上式，∴{an}的通项公式为an=13-2n. 由an=13-2n≥0得n≤，即当1≤n≤6(n∈N+)时，an>0,当n≥7时，an<0. 当1≤n≤6（n∈N+）时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2. ②当n≥7(n∈N+)时， Tn=|a1|+|a2|+…|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn =2(12×6-62)-［11n+×(-2)］=n2-12n+72. 12n-n2(1≤n≤6,n∈N+) ∴Tn= n2-12n+72(n≥7,n∈N+) 18．（本小题满分12分） 解：(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝－，∵A为三角形的内角，∴A＝.(2)由(1)得sinA＝，由正弦定理，得b＝，csinA＝asinC及a＝， ∴S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC， 则S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)， 则当B－C＝0，即当B＝C＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值为3. 19．（本小题满分12分） (1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1， ∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)． 又＝＝2，故数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，又∵a1＝，不适合上式，∴an＝ 20．（本小题满分13分） (1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，∴Sn＋1＝3Sn. 又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，因此Sn＝3n－1(n∈N*)． 当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2(n≥2)， ∴数列{an}的通项公式an＝ (2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan. 当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，① 3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，② ①－②得：－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1 ＝2＋2·－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1， ∴Tn＝＋(n－)·3n－1(n≥2)．又∵T1＝a1＝1也满足上式， ∴Tn＝＋(n－)·3n－1(n∈N*). | ||||||||||||||||||||||||||||||
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