吉林省实验中学2014—2015学年度上学期模一高二数学理试题

命题人：王峰 审题人：李景秋

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．与命题“若a∈M，则b?M”等价的命题是(　　)

A．若a?M，则b?M　　　　 B．若b?M，则a∈M

C．若a?M，则b∈M D．若b∈M，则a?M

2 在△
中，“
”是“
”的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

3．下列命题中的真命题是(　　)

A．?x∈R，使得sinxcosx＝

B．?x∈(－∞，0)，2x>1

C．?x∈R，x2≥x－1

D．?x∈(0，π)，sinx>cosx

4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)

A．1条　　 B．2条　　　C．3条　　　 D．4条

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过焦点F1的弦AB的长是2，另一焦点为F2，则△ABF2的周长是(　　)

A．2a　　　B．4a－2　　C．4a　　　 D．4a＋4

6．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　)

A．b2　　　B．ab　　　C．ac　　　 D．bc

7．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)

A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1

8 若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，那么
的取值范围是（ ）

A（
） B（
） C （
） D （
）

9 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆
的圆心的抛物线的方程是（ ）

A
或
B

C
或
D
或

10．已知椭圆＋y2＝1的两焦点为F1、F2，点M在椭圆上，·＝0，则M到y轴的距离为(　　)

A． B． C． D．

11 点
是椭圆
的两个焦点，为椭圆上一点，且∠
，则Δ
的面积为（ ）

A
B
C
D

12．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13 抛物线
的准线方程为＿＿＿＿＿

14．已知椭圆的中心在原点、焦点在y轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为________．

15已知
，抛物线
上的点到直线
的最段距离为__________

16．已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a,0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知
；
若
是
的必要非充分条件，求实数的取值范围

18．（本小题满分12分）

根据下列条件求抛物线的标准方程．

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)过点P(2，－4)；

19．（本小题满分12分）

已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(， 0)，离心率e＝.

(1)求此椭圆的标准方程；

(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

20．（本小题满分12分）

设抛物线顶点在原点，开口向上，A为抛物线上一点，F为抛物线焦点，M为准线l与y轴的交点，已知|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的方程．

21．（本小题满分12分）

P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点．

(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2、b2、c2成等差数列时，求椭圆的方程；

(2)在 (1)的条件下，求弦AB的长；

(3)当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O时，求椭圆长轴长的取值范围．

参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

C

C

C

D

B

D

D

B

C

A



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．
14． ＋＝1

15．
16． 

三．解答题（本大题共6小题，共计70分）

17.

解：
…………………3分

……6分

是
的必要非充分条件，

，…………………………8分

即
………………………………………10分

18.

解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，………………2分

由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，………………………………3分

则－＝－3，………………………………………………………………4分

∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x. ……………………………………6分

(2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，

可设方程为y2＝mx或x2＝ny，…………………………………………9分

代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，……………………………………10分

∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y. ………………………………12分

19.

解：(1)由题意，c＝，又e＝＝＝，∴a＝2，………………2分

∴b2＝a2－c2＝4－3＝1，…………………………………………………4分

∴椭圆方程为＋y2＝1.…………………………………………………6分

(2)由消去y，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，………………8分

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴|PQ|＝|x1－x2|

＝·

＝·＝2，……………………………………………………10分

∴m2＝，m＝±.…………………………………………………12分

20.

解：作AB⊥y轴于B，AC⊥l于C.

据抛物线定义，|AC|＝|AF|.………………………………2分

∵|AF|＝3，∴|AC|＝3，……………………………………4分

从而|BM|＝|AC|＝3.

∵|AM|＝，………………………………………………6分

∴在Rt△ABM中，|AB|2＝|AM|2－|BM|2＝17－9＝8. ……8分

在Rt△ABF中，|BF|2＝|AF|2－|AB|2＝9－8＝1，∴|BF|＝1. …10分

从而|FM|＝|BM|±|BF|＝4或2，即抛物线的焦准距p＝4或2，………11分

又抛物线开口向上，故抛物线方程为x2＝8y. 或x2＝4y………………12分

21.

解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1. ………………2分

由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.……4分

(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，…………………………………5分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则①…………………………………………………………6分

设＝(x3，y3)，＝λ＋，即……………………7分

又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，

有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. …………………………………………8分

化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ………………9分

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，…11分

得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4. ………………………………………………12分

22.

解：(1)由已知得2b2＝a2＋c2＝b2＋2c2，

又∵c＝1，∴b2＝2，a2＝3，…………………………1分

∴椭圆的方程为＋＝1. ……………………………2分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2－6x－3＝0，…………4分

∴x1＋x2＝，x1·x2＝－.

∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.………………………………6分

(3)由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，

由Δ＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，得a2＋b2>1. …………………………………8分

此时x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，

∴·＝0，∴x1·x2＋y1·y2＝0，

∴2x1·x2－(x1＋x2)＋1＝0，………………………………………………10分

即a2＋b2－2a2b2＝0，故b2＝，

由e2＝＝，得b2＝a2－a2e2，

∴2a2＝1＋.…………………………………………………………11分

由≤e≤得≤a2≤，∴≤2a≤.……………………………12分