福建省晋江市季延中学2013-2014学年高二下学期期末考试理科数学试卷

选择题（每题5分，共50分）

1．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是( ).

A．
B．
C．
D．

2. 右图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是( ).

A．31，26 B．36，23 C．36，26 D．31，23

3. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)

A．12, 24, 15, 9　　 　 B．9, 12, 12, 7 C．8, 15, 12, 5 D．8, 16, 10, 6

4．执行下面的框图，若输入的n是
，则输出的值是（ ）

A．120 B．720 C．1440 D．5040

5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温x(℃)

18

13

10

－1



用电量y(度)

24

34

38

64



由表中数据得线性回归方程＝x＋中≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为( )

A．58 B．66 C．68 D．70

6．(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 (　　)

A．360 B．180C．90 D．45

7. 随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝
(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，

则P(＜X＜)的值为(　　)

A.  B.  C.  D. 

8．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则 (　　)

A． n＝5，p＝0.32 B．n＝4，p＝0.4

C． n＝8，p＝0.2 D．n＝7，p＝0.45

9. 在区间(0, 1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为(　　)

A． B． C． D．

10.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 (　　)

A．10 B．11 C．12 D．15

二、填空题（每题5分，共25分）

11．已知
，其中、为实数，则
.

12. 已知随机变量X服从正态分布N( 0，
)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝________.

如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色( 4种颜色全部使用 )，

要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的

涂色方法有 种. （用数字作答）

14. 已知
，则
.

15. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关

能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的

概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为 .

三、解答题（第16、17、18、19题每题12分，第20题13分、第21题14分，共75分）16．已知(－)n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：

(1) n的值； (2)展开式中含x3的项．

(选修4—2：矩阵与变换) 已知矩阵M=
，

（1）求矩阵M的逆矩阵
；

（2）求矩阵M的特征值和特征向量；

（3）试计算
.

(选修4—4：坐标系与参数方程 )

已知直线的极坐标方程为
，圆
的参数方程为
（其中
为参数）

（1）判断直线圆
的位置关系；

（2）若椭圆的参数方程为
（为参数），过圆
的圆心且与直线垂直的直线
与椭圆相交于两点
，求
.

19. 一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．

(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；

(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；

(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.

20．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一.为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65)

[65，75]



频数

5

10

15

10

5

5



支持的人数

4

6

9

6

3

4





（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的支持率和被调查者的年龄平均值；

（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不支持“车辆限行”的人数为
，求随机变量
的分布列；

（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率
取得最大值的整数
.

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选两题做答，满分14分.若多做，则按所做的前两题计分.请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵
有特征值
及对应特征向量
，且矩阵
对应的变换将点
变换成

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）若直线在矩阵
所对应的线性变换作用下得到直线
，求直线方程.

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线：
（为参数）；椭圆
：
（
为参数）

（Ⅰ）求直线倾斜角的余弦值；

（Ⅱ）试判断直线与椭圆
的交点个数.

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若函数
的定义域为,求实数的取值范围.

高二理科数学参考答案

ACDBC BDCAB 11. 3 12. 0.1 13. 96 14. 31 15. 0.91.

16.解：(1)∵T3＝C()n－2(－)2＝4Cx，T2＝C()n－1·(－)＝－2Cx，…… 4分

依题意得4C＋2C＝162，∴2C＋C＝81，∴n2＝81，n＝9.…… 7分

(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝C()9－r(－)r＝(－2)rCx，

∴＝3，r＝1， …… 10分∴第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3.……12分

17.解：（1）|M|=-3 ,
………… 4分

矩阵M的特征多次式为
，

对应的特征向量分别为
和
………… 8分

，所以
………… 12分

18.解：（1）将直线极坐标方程为
化为直角坐标方程：
.

将圆的参数方程化为普通方程：
，圆心为
，

∴圆心
到直线的距离为

，

∴直线与圆
相离。……………… 6分

（2）将椭圆的参数方程化为普通方程为
，

又∵直线：
的斜率
，∴直线
的斜率为
，即倾斜角为
，

则直线
的参数方程为：
，即

，

把直线
的参数方程
代入
得：

由于
，

故可设
是上述方程的两个实根，则有
又直线
过点
，故由上式及的几何意义得：
.……………… 12分

19.解(1)因为1,3,5是奇数，2,4是偶数，

设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”

P(A)＝＝或P(A)＝1－＝.


4分

设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，

则P(B)＝C·()2·(1－)＝.


7分

(3)依题意，X的可能取值为1,2,3.

P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列为

X

1

2

3



P









E(X)＝1×＋2×＋3×＝.


12分

20.解: （Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的支持率约为：
．……………2分

被调查者年龄的平均约为：
…4分

（Ⅱ）依题意得：

………………………………………8分

所以
的分布列是：























 ………………………………………………9分

（Ⅲ）
,其中
. …………………………………10分

，…………………………………11分

当
即
时，
；

当
即
时，
.……………12分

即
；
.

故有：
取得最大值时
. ………………………………………13分

21．（1）选修4－2：矩阵与变换解（Ⅰ）设
，则



，故

又矩阵
对应的变换将点
变换成



，

故

联立以上两方程组，解得：
，故
.……………… 4分

（Ⅱ）设
是直线上任意一点，它在矩阵
对应的变换下变为点
，

则


，即

又因为点
在直线
上，所以有:
, 把
代人得：
故所求直线的方程为：
.……………… 7分

（2）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）将直线参数方程化为普通方程得：
，得斜率为
，则倾斜角的余弦值为
……………… 3分

椭圆
的普通方程为：
,

得：


所以没有交点……… 7分

（3）选修4－5：不等式选讲

（Ⅰ）当
时，依题意得：

由绝对值的几何意义知不等式的解集为
。

∴不等式的解集为
。………………4分

（Ⅱ）依题意得：关于的不等式
在上恒成立，…………5分

即
在上恒成立，

………………6分

………………7分