2014-2015学年度吉林一中高二9月考数学理考卷

第I卷（选择题）

本试卷第一部分共有 24 道试题。

一、选择题( 共 24 题 ,共 96 分)

1、如果函数y=(a 2 -4) x 在定义域内是减函数,则a的取值范围是( )

a.|a|＞2 ?? b.|a|＞
c.|a|＜
?? d.2＜|a|＜

2、春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )

a.10天 b.15天 ?? c.19天 ?? d.20天

3、若定义在(-1,0)上的函数f(x)=log 2a (x+1)满足f(x)＞0,则a的取值范围是( )

a.(0,
) ?? b.(0,
) ? c.(
,+∞) d.(0,+∞)

4、已知函数f(x)=
则f［f(
)］的值是( )

a.9 b.
??c.-9 ? d.-

5、已知m=0.9 5.1 ,n=5.1 0.9 ,p=log 0.9 5.1,则这三个数的大小关系是( )

a.m＜n＜p ? b.m＜p＜n

c.p＜m＜n ? d.p＜n＜m

6、已知函数f(x)=log 2 (x 2 -ax+3a)在［2,+∞］上是增函数,则实数a的取值范围是( )

a.(-∞,4) ? ?b.(-4,4)

c.(-∞,-4)∪［2,+∞］ ? d.［-4,4)

7、农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元,其他收入为1 350元),预计该地区自2004年起的2年内,农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元,根据以上数据,2005年该地区农民人均收入介于( )

a.3 200元～3 400元 ? b.3 400元～3 600元

c.3 600元～3 800元 ?d.3 800元～4 000元

8、若函数f(x)=log a x(0＜a＜1)在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍,则a等于( )

a.
? b.
?c.
?d.

9、函数y=lg
的图象大致是( )

10、若函数f(x)=
则f(log 4 3)等于( )

a.
?b .3 ? c .
??d.4

11、已知m=0.9 5.1 ，n= 5.1 0.9 ，p=log 0.9 5.1，则这三个数的大小关系是( )

a.m＜n＜p ? b.m＜p＜n ? c.p＜m＜n ? d.p＜n＜m

12、设n=
，则n的值属于下列区间中的( )

a.（-2，-1） b.（1，2） ?? c.（-3，-2） d.（2，3）

13、如图所示，在河岸 ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是(　　)．

a． c ， α ， γ ?? b． c ， b ， α

c． c ， a ， β ?? d． b ， α ， γ

14、从 a 处望 b 处的仰角为 α ，从 b 处望 a 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系是(　　)．

a． α ＞ β ?? ?b． α ＝ β

c． α + β ＝90° ? ??d． α + β ＝180°

15、在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为(　　)．

a．
m ?? b．
m

c．
m?? ??d．
m

16、如图，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为(　　)．

a． a km ?? b．
km ?? c．
km ?? d．2 a km

17、在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边 b ∶ a 等于(　　)．

a．2∶5或4∶25 ?? b．5∶2 ? c．25∶4 ? d．2∶5

18、在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a ·sin b ，则∠ c 为(　　)．

a．60° ?? b．45° ?? c．120°?? d．30°

19、在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，则sin a 的值为(　　)．

a．
?? b．
?? c．
?? d．

20、△ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝
，则
＝(　　)．

a．
?? b．
?? c．
?? d．

21、根据下列条件，确定△ abc 有两解的是(　　)．

a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120°

b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60°

c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30°

d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45°

22、在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三边之比 a ∶ b ∶ c 等于(　　)．

a．1∶2∶3 ? ?b．3∶2∶1

c．1∶
∶2 ?? ?d．2∶
∶1

23、在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，则 s △ abc ＝(　　)．

a．
?? b．
? c．
? d．

24、在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的对边分别是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝
，sin c ＝
sin b ，则∠ a ＝(　　)．

a．30° ?? b．60° ?? c．120° ?? d．150°

第II卷（非选择题）

试卷第二部分共有 20 道试题。

二、填空题( 共 8 题 ,共 28 分)

1、

将
,
,
由大到小排列为__________.

?

2、lg5lg8 000+3lg 2 2+lg0.06-lg6=__________.

3、函数f(x)=log a
(a＞0且a≠1),f(2)=3,则f(-2)的值为_________.

4、已知函数f(x)=a x +a -x (a＞0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为___________.

5、如图为曲柄连杆结构示意图，当曲柄 OA 在 OB 位置时，连杆端点 P 在 Q 的位置，当 OA 自 OB 按顺时针旋转 α 角时， P 和 Q 之间的距离为x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，则 x 等于__________(精确到0.1 cm)．

6、一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________．

7、在△ ABC 中，
，
，
，则 b ＝________.

8、在平行四边形 ABCD 中，
，
，∠ BAC ＝45°，则 AD ＝________.

三、解答题( 共 12 题 ,共 115 分)

1、已知
+
=3,求a 2 +a -2 的值.

2、要使函数y=1+2 x +4 x ·a在(-∞,1)上y＞0恒成立,求a的取值范围.

3、已知f(x)=x(
+
).

(1)判断函数的奇偶性;

(2)证明f(x)＞0.

4、某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t),

(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域;

(2)画出y=f(t)(0≤t＜6)的图象;

(3)写出研究进行到n小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)

5、设f(x)=
,若0＜a＜1,试求:

(1)f(a)+f(1-a)的值;

(2) f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）的值..

6、已知函数f（x）=-x+
.

（1）试判断函数f（x）在定义域上的单调性并用单调性定义证明；

（2）若函数f（x）的反函数为f -1 （x），解方程f -1 （-1+log 2 x）=-1.

7、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A ， B ， C 三点进行测量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 处测得水深 AD ＝80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值．

8、如图， A ， B 两个小岛相距21海里， B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．

9、为了测定不能到达底部的铁塔的高 PO ，可以有哪些方法？

10、在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ．

11、在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ．

12、在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，试判断△ ABC 的形状．

答案解析部分(共有 44 道题的解析及答案)

一、选择题

1、思路 解析: ∵0＜a 2 -4＜1,∴4＜a 2 ＜
.∴2＜|a|＜
.

答案: D

2、思路 解析: 荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2 x ,

当x=20时,长满水面,所以生长19天时,布满水面一半.故选C.

答案: C

3、思路 解析: 本题考查对数函数的基本性质.

当x∈(-1,0)时,有x+1∈(0,1),此时要满足f(x)＞0,只要0＜2a＜1即可.

由此解得0＜a＜
.

答案: A

4、思路 解析: f(
)=log 3
=-2,f(-2)=3 -2 =
.

答案: B

5、思路 解析: 本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.

由指数函数的性质,∵0＜0.9＜1,5.1＞1,

∴0＜0.9 5.1 ＜1,即0＜m＜1.

又∵5.1＞1,0.9＞0,

∴5.1 0.9 ＞1,即n＞1.

由对数函数的性质,∵0＜0.9＜1,5.1＞1,

∴log 0 . 9 5.1＜0,即p＜0.

综合可得p＜m＜n.

答案: C

6、思路 解析: 解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.

令u(x)=x 2 -ax+3a,其对称轴x=
.

由题意有
解得-4＜a≤4.

答案: B

7、思路 解析: 本题考查指数函数的应用.

设2005年该地区农民人均收入为y元,

则y=1 800×(1+6%) 2 +1 350+160×2≈3 686(元).

答案: C

8、思路 解析: 本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a,2a］上的最大值与最小值.

f(x)=log a x(0＜a＜1)在(0,+∞)上是减函数,

当x∈［a,2a］时,f(x) max =f(a)=1,f(x) min =f(2a)=log a 2a.

根据题意,3log a 2a=1,即log a 2a=
,所以log a 2+1=
,即log a 2=-
.

故由
=2得a=
.

答案: A

9、 思路解析： 本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点（2，0），（
，1）.②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函数为减函数.

答案： A

10、 思路解析： ∵log 4 3∈［0,1］,∴f(x)=4log 4 3=3.

答案： B

11、 思路解析： 本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.由指数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴0＜0.9 5.1 ＜1，即0＜m＜1.又∵5.1＞1，0.9＞0，∴ 5.1 0.9 ＞1，即n＞1.由对数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴log 0.9 5.1＜0，即p＜0.综合可得p＜m＜n.

答案： C

12、 思路解析： n=

+

=

=log 3 10.

∵log 3 9＜log 3 10＜log 3 27,

∴n∈(2,3).

答案： D

13、D

解析： 本题中的 c ， a ， β 不好直接测量．

14、B

15、B

解析： 如图所示，则 AE ＝ DE ＝ AB ＝20 m，

∴ CE ＝ AE tan 60°＝
m，

∴ CD ＝ CE + ED ＝
m.

16、B

17、B

18、A

19、A

解析： 由余弦定理可求得
，再由正弦定理得
.

20、D

21、D

解析：
，又 b ＞ a ，

∴∠ B 有两解．故△ ABC 有两解．

22、C

解析： 易知∠ A ＝
，∠ B ＝
，∠ C ＝
，

∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶
∶2.

23、C

解析： 由
得
，∠ B ＝105°，

S △ ABC ＝
ac sin B ＝
.

24、A

解析： 利用正弦定理，sin C ＝
sin B 可化为
．

又∵
，

∴
，

即 a 2 ＝7 b 2 ，
．

在△ ABC 中，
，∴∠ A ＝30°.

二、填空题

1、

思路 解析: 本题考查指数函数与幂函数的综合运用.

注意到
＜0,而
＞0,
＞0;

又因为
=
,且y=
在［0,+∞）上是增函数,所以
＜
.

综合得
＞
＞
.

答案:
＞
＞
.

?

2、 解析: 原式=lg5(3+3lg2)+3lg 2 2+lg
=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 2 2-2=3-2=1.

答案: 1

3、 解析: ∵f(-x)=log a
=-log a
=-f(x),

∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.

答案: -3

4、 解析: f(0)=a 0 +a 0 =2,f(1)=a+a -1 =3,f(2)=a 2 +a -2 =(a+a -1 ) 2 -2=9-2=7.

∴f(0)+f(1)+f(2)=12.

答案: 12

5、22.5 cm

解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP － OP ＝25+125－
≈22.5(cm)．

6、
海里

解析： 如图，

在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°，

∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得
．

又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝
，

∴两灯塔间距离为
海里．

7、

解析： ∵
，∴
， S △ ABC ＝
ab sin C ＝
，即
，∴
.

8、

解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB · AC ·cos∠ BAC ＝48，

∴
，∴
.

三、解答题

1、解:本题考查指数的运算.

从已知条件中解出a的值,再代入求值的方法不可取,应该设法从整体寻求结果与条件
+
=3的联系进而整体代入求值.

将
+
=3两边平方得a 1 +a -1 +2=9,

即a 1 +a -1 =7.再将其平方,

有a 2 +a -2 +2=49,从而得到a 2 +a -2 =47.

2、思路分析:把1+2 x +4 x ·a＞0在(-∞,1)上恒成立问题,分离参数后等价转化为a＞-(
) x -(
) x 在(-∞,1)上恒成立,而-(
) x -(
) x 为增函数,其最大值为-
,可得a＞-
.

解:由1+2 x +4 x ·a＞0在x∈(-∞,1)上恒成立,即a＞-
=-(
) x -(
) x 在(-∞,1)上恒成立.

又g(x)=-(
) x -(
) x 在(-∞,1)上的值域为(-∞,-
),∴a＞-
.

评述:(1)分离参数构造函数问题是数学中解决问题的通性通法.

(2)恒成立问题可化归为研究函数的最大(或最小)值问题.

3、(1)解:函数的定义域为{x|x≠0}.

f(-x)=-x·
=-x·
=x·
=f(x).

∴函数为偶函数.

(2)证明:由函数解析式,当x＞0时,f(x)＞0.

又f(x)是偶函数,当x＜0时,-x＞0.

∴当x＜0时,f(x)=f(-x)＞0,即对于x≠0的任何实数x,均有f(x)＞0.

评述:本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性,并利用函数的奇偶性证明不等式.

4、解:(1)y=f(t)定义域为t∈［0,+∞),

值域为{y|y=2 n ,n∈N * }.

(2)0≤t＜6时,为一分段函数y=

图象如图2-1.

?? 图2-1

(3)n为偶数时,y=
;n为奇数时,y=
.∴y=

5、解:（1）f（a）+f（1-a）=
+
=
+
=
+

=
+
=
=1.

（2）f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）

=［f（
）+f（
）］+［f（
）+f（
）］+…+［f（
）+f（
）］=500×1=500.

6、 解： （1）令
＞0，解得函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜1}.

令-2＜x 1 ＜x 2 ＜1，则f（x 1 ）-f（x 2 ）=-x 1 +x 2 +
-
=（x 2 -x 1 ）+
.

∵-2＜x 1 ＜x 2 ＜1，

∴x 2 -x 1 ＞0，
＞1，
＞1.

∴
·
＞1.

∴log 2 （
·
）＞0.

∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0.

∴f（x）为定义域上的减函数.

（2）由f -1 （-1+log 2 x）=-1，f（-1）=-1+log 2 x，即1+log 2 2=-1+log 2 x，解得x=8.

经检验，x=8为原方程的解.

7、 解： 如图，作 DM ∥AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M .

(m)，

(m)，

(m)．

在△ DEF 中，由余弦定理的变形形式，得

cos∠ DEF ＝

.

8、 解： 设行驶 t h后，甲船行驶了9 t 海里到达 C 处，乙船行驶了6 t 海里到达 D 处．

①当9 t ＜21，即
时， C 在线段 AB 上，

此时 BC ＝21－9 t .

在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ，

∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC · BD ·cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )·6 t ·
＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.

∴当 t ＝2时， CD 取得最小值
.

②当
时， C 与 B 重合，

则
.

③当
时， BC ＝9 t －21，

则 CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2·(9 t －21)·6 t ·cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.

综上可知，当 t ＝2时， CD 取最小值
.

答：行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为
海里．

9、 解： 方法一：在地面上引一条基线 AB ，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出 AB 的长，用经纬仪测出角 β ， γ 和 A 对塔顶 P 的仰角 α 的大小，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：

如图所示，在△ ABO 中，由正弦定理得

，

在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO ·tan α ，

∴
.

方法二：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且 AB 延长后不过点 O .测出 AB 的长、张角∠ AOB (设为 θ )及 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高，计算方法如下：

如图所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO ·cot α ，

在Rt△ POB 中， BO ＝ PO ·cot β ，

在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA · OB ·cos θ ＝ AB 2 ，

∴
.

方法三：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三点在一条直线上，测出 AB 的长和 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：

如图所示，在△ PAB 中，由正弦定理得

，

在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA ·sin α ，

∴
.

10、 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5.

当 c ＝3时，
；

当 c ＝5时，
.

11、 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c ·cos A +2.由正弦定理得
，又由已知得
，∴ b ＝4 c ·cos A ，由
可得 b ＝4.

12、 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，

∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0.

由正弦定理，上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，

即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，

∵sin A ≠0，sin B ≠0，

∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，

∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π，

∴∠ A ＝∠ B 或∠ A +∠ B ＝
.

故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．