包头一中2013—2014学年度第二学期期末考试

高二年级理科数学试题

命题人： 康丽君 审题人：曹岩梅

一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．）

1．设
则复数
为实数的充要条件是（ ）

A.
　　B.
　　C.
　　D.

2．复数
等于（ ）

A． B．
C．
D．

3.已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。

A.
B.
C.
D.

4. 已知过曲线

上一点P和原点O的直线PO的倾斜角为
，则P点坐标是( )

A.（3，4）　　 B.
　　 C.(-3，-4)　　　 D.

5.已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为(　 　)

A．0 B．±3 C．0或±3 D．非以上答案

6.已知随机变量
服从正态分布
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D，

7.
展开式中
的系数为10，则实数a等于( )

A.-1 B.
C.1 D.2

8.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )

A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种

9.已知
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7

10.抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)等于(　 )

A. B. C. D.

11.方程
（t为参数）表示的曲线是（ ）。

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

12、复数Z与点Z对应，
为两个给定的复数，
，则
决定的Z的轨迹是（ ）

A过
的直线 B.线段
的中垂线

C.双曲线的一支 D.以Z
为端点的圆

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分. 请将正确的答案填写到答题卷的相应位置上）

13.复数
，则
。

14.经过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，

可以得到椭圆＋＝1类似的性质为_______ __．

15. 定积分
=_____

16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如表所示:

x

6

8

10

12



y

2

3

5

6



画出上表数据的散点图为:

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
=
x+
.

(2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测记忆力为9的学生的判断力

( 其中
,
)

18．（本小题满分12分）

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
，购买乙种商品的概率为
，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记
表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求
的分布列及期望。

19.（本小题满分12分）

（普通班做）圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．

19.（本小题满分12分）

（实验班做）已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角为，且tan=

(1)写出直线l的一个参数方程；

(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

20、（本小题满分12分）

（普通班做）过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为
的直线，它与抛物线交于A、B两点，求这两点间的距离．20、（本小题满分12分）（实验班做）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
（a＞b＞0，为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M
对应的参数=
，
与曲线C2交于点D

（1）求曲线C1，C2的普通方程；

（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
）是曲线C1上的两点，求
的值

21.（本小题满分12分）

（普通班做）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,其中女性300人,男性200人.女性中有30人需要帮助,另外270人不需要帮助;男性中有40人需要帮助,另外160人不需要帮助.

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表.

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?

附：

P(
)

0.025

0.01

0.005

0.001





5.024

6.635

7.879

10.828



21.（本小题满分12分）

（实验班做）某市规定中学生百米成绩达标标准为不超过16秒.现从该市中学生中按照男、女生比例随机抽取了50人,其中有30人达标.将此样本的频率估计为总体的概率.

(1)随机调查45名学生,设ξ为达标人数,求ξ的数学期望与方差.

(2)如果男、女生采用相同的达标标准,男、女生达标情况如下表:

男

女

总计



达标

a=24

 b=　　?





不达标

c=

d=12





总计





n=50



根据表中所给的数据,完成2×2列联表（注：请将答案填到答题卡上），并判断在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为“体育达标与性别有关”?若有,你能否给出一个更合理的达标方案?

附：

P(
)

0.025

0.01

0.005

0.001





5.024

6.635

7.879

10.828





22． (本题满分12分)

(普通班做)设函数f()=
，且方程
的两个根分别为1,4.

(1)当＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

（实验班做）已知
是函数
的一个极值点。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若直线
与函数
的图象有3个交点，求
的取值范围。

包头一中2013—2014学年度第二学期期末考试

高二年级理科数学试题答案

一、1---5 DACDC 6---10 ADACA 11---12 BB

二、13. -1 14. ＋＝1. 15. 0 16.

三、

17、 解：(1)
xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,

=
=9,
=
=4,

=62+82+102+122=344,

=
=0.7,

=
-

=4-0.7×9=-2.3,

故线性回归方程为
=0.7x-2.3.

(2)由回归直线方程预测,记忆力为9的学生的判断力约为4.

18、【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记
表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）
，故
的分布列

的分布列为：

0

1

2

3



P

0.008

0.096

0.384

0.512





所以

19、(普通班做)解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系(图略)，两坐标系中取相同的长度单位．

(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.

所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．

同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．

(2)由

相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.

19、（实验班）解：(1)直线的参数方程为
，（t为参数）

(2)把直线
代入x2＋y2＝4，

得(1＋
t)2＋(1＋
t)2＝4，

t2＋
t－2＝0，t1t2＝－2，

则点P到A，B两点的距离之积为2.

20、(普通班做)解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，

设过焦点F(1,0)，倾斜角为π的直线的参数方程为

(t为参数)，将此代入y2＝4x，

得t2＋4t－8＝0，

设这个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有

t1＋t2＝－4，t1·t2＝－8，

∴|AB|＝|t1－t2|＝

＝ ＝＝8.

∴A、B两点间的距离是8.

20. （实验班）解：（1）将M
及对应的参数=
，
；代入
得
，所以
，所以C1的方程为
，设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点D
代入得：∴R=1∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1）--------5分

（2）曲线C1的极坐标方程为：
，

将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
）代入得：
，

所以

21. (普通班做) 【解析】(1)2×2的列联表为

需要帮助

不需要帮助

总计



男

40

160

200



女

30

270

300



总计

70

430

500



(2)k=
≈9.967.

由于9.967>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

21.（实验班）

由题意可知,随机抽取1人,则此人百米成绩达标的概率为
=
.

(1)由题设可知,ξ～B(45,
)

故E(ξ)=45×
=27,D(ξ)=45×
×
=10.8.

(2)

男

女

总计



达标

a=24

b=6

30



不达标

c=8

d=12

20



总计

32

18

n=50



k=
≈8.333>6.635,

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”.男、女生要使用不同的达标标准.

22．(普通班做)[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．

由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c

∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

∴(*)

(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.

故f(x)＝x3－3x2＋12x.

(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”，

由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.

又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

解得a∈[1,9]，

即a的取值范围为[1,9]．

22．（实验班）

【解】：（Ⅰ）因为

所以

因此

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当
时，

当
时，

所以
的单调增区间是

的单调减区间是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
内单调增加，在
内单调减少，在
上单调增加，且当
或
时，

所以
的极大值为
，极小值为

因此

所以在
的三个单调区间
直线
有
的图象各有一个交点，当且仅当

因此，
的取值范围为
。