（考试时间：120分钟　满分：150分　命题人：石　岩　审核人：沈　瑾）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.过点
、
的直线的斜率为______________．

2.若是虚数单位，复数满足
,则的虚部为_________．

3.正四面体
的所有棱长都为2，则它的体积为________．

4.以
为圆心且过原点的圆的方程为_____________．

5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“
”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________．

6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．

7.正方体
中，二面角
的大小为__________．

8.双曲线
的顶点到其渐近线的距离等于_________．

9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为
.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则
__________．

10.在长方体
中，已知
，
为
的中点，则直线
与平面
的距离是___________．

11.棱长为1的正方体
的8个顶点都在球面
的表面上，、分别是棱
、
的中点，则直线
被球
截得的线段长为________．

12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外

科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________．(用数字作答)

13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）

14.设焦点是
、
的双曲线
在第一象限内的部分记为曲线，若点
都在曲线上，记点
到直线
的距离为
,又已知
，则常数
___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米.

A．
B．
C．
D．

16.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块

测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),

[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方

图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩

不少于60分的学生人数为（　　）

A．588 B．480 C．450 D．120

17.使得
的展开式中含有常数项的最小的为 （　　）

A． B．
C．
D．

18.若直线
与曲线
有且仅有三个交点，则的取值范围是（）

A．
B．
C．
D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．

19.（12分）求
的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.

20.（14分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者从装有
个红球、 个蓝球、6个白球的袋中任意摸出4个球.根据摸出个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等 奖如下:

奖级

摸出红、蓝球个数

获奖金额



一等奖

3红1蓝

200元



二等奖

3红1白

50元



三等奖

2红1蓝或2红2白

10元



其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额
的分布列与期望
.

21.（14分）已知椭圆
上存在两点、关于直线
对称，求的取值范围.

22.（16分）如图，四棱柱
中, 侧棱
底面
，
，

，
，为棱
的中点.

(1) 证明：
；

(2) 设点
在线段
上, 且直线
与平面
所成角的正弦值为
, 求线段
的长.

（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面
上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为
的抛物线列
中，
是首项和公比都为
的等比数列，过
作斜率2的直线
与
相交于
和
（
在轴的上方，
在轴的下方）.

证明：
的斜率是定值；

求
、
、
、
、
所在直线的方程；

记
的面积为
，证明：数列
是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.

金山中学2013学年度第二学期高二年级数学学科（理）期末考试卷

参考答案

19.（12分）解：
，

所以二项式系数为
，

系数为
.

（14分）解：（1）
；

（2）

X

0

10

50

200



P(X)












.

（14分）解：设直线
方程为
，联立

得

从而

则
中点是
，

则
解得

由
有实数解得
即

于是
则的取值范围是

（18分）解：（1）由已知得
，抛物线焦点
，抛物线方程为
，直线
的方程为
于是，抛物线
与直线
在轴上方的交点
的坐标满足
则有

而直线
的斜率为
，则
解得

又
点
在第一象限，则
；

直线方程为
；

由
得
则
，

而
到直线
的距离为
，

于是
的面积
，

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.由于
，

所以所有三角形面积和为
.