湖北省枝江一中2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数（1+i）2的虚部是

A．0 B．2 C．一2 D．2i

2．若命题“
”为真命题，则

A.，均为假命题 B.，中至多有一个为真命题

C.，均为真命题 D.，中至少有一个为真命题

3．等差数列
的前n项和为Sn，若a2 + a4 + a6 = 12，则S7的值是

A．21 B．24 C．28 D．7

4．平面向量
与
的夹角为
，
，则
=( )

A．7　　 B．
　　 C．
　　 D． 3

5．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是

A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数

7．已知：p：x＜k，q：
≤1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是

A.
B.
C. （－∞，—1） D.

8．若抛物线
上一点到焦点和轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（ ）

A、
B、

C、
或
D、
或

9．在△ABC中，若a、b、c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A－C）＝1，则有

A．a、c、b成等比数列 B．a、c、b成等差数列

C．a、b、c成等差数列 D．a、b、c成等比数列

10．已知函数
的值域是
，则实数a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．幂函数
的图象经过点（一2，一
），则满足
的x的值是 .

12．设
满足
，则
的最大值为___________。

13．在平面直角坐标系
中，若圆
上存在，两点关于点
成中心对称，则直线
的方程为 .

14．已知菱形
的边长4，
，若在菱形内任取一 点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为 。

15．已知某算法的流程图如图所示，若输入
，则输出的有序

数对为

16．设

（1）若
，使
成立，则实数m的取值范围

是 ；

（2）若
，
使得
，则实

数a的取值范围为 。

17．对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=
；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积Sn=(
)n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则

(I)当n = 1时,所得几何体的体积V1 =______.

(II)到第n步时，所得几何体的体积Vn =______.

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18（12分）已知数列
是首项为1公差为正的等差数列，数列
是首项为1的等比数列，设
(
)，且数列
的前三项依次为1，4，12，

(1)求数列
,
的通项公式；

(2)若等差数列
的前n项和为
，求数列
的和。

20（13分）已知向量
，
，设函数

的图象关于直线
对称，其中，为常数，且
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）若
的图象经过点
，求函数
在区间
上的取值范围.

21（本题14分）已知函数f（x）=
x2－lnx,g（x）=lnx－x

（1）求f（x）在（1，
）处的切线方程；

（2）若

①讨论函数h（x）的单调性；

②若对于任意
∈（0，+），
，均有
＞－1，求实数a的取值范围．

22（14分）如图所示，已知圆
为圆上一动点，点在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若过定点（0，2）的直线交曲线于不同的两点
（点
在点
之间），且满足
，求
的取值范围.

高二文科期中数学试卷及参考答案

1．复数（1+i）2的虚部是

A．0 B． 2 C．一2 D．2i

2．若命题“
”为真命题，则

A.，均为假命题 B.，中至多有一个为真命题

C.，均为真命题 D.，中至少有一个为真命题

3．等差数列
的前n项和为Sn，若a2 + a4 + a6 = 12，则S7的值是

A．21 B．24 C．28 D．7

4．平面向量
与
的夹角为
，
，则
=( )

A．7　　　　　 B．
　　　 　C．
　　　 　D． 3

5．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是

A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数

7．已知：p：x＜k，q：
≤1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是

A.
B.
C. （－∞，—1） D.

8．若抛物线
上一点到焦点和轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（ ）

A、
B、

C、
或
D、
或

9．在△ABC中，若a、b、c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A－C）＝1，则有

A．a、c、b成等比数列 B．a、c、b成等差数列

C．a、b、c成等差数列 D．a、b、c成等比数列

10．已知函数
的值域是
，则实数a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12．设
满足
，则
的最大值为___________。

13．在平面直角坐标系
中，若圆
上存在，两点关于点
成中心对称，则直线
的方程为 .

14．已知菱形
的边长4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为 。

15．已知某算法的流程图如图所示，若输入
，则输出的有序数对为

16．设

（1）若
，使
成立，则实数m的取值范围是 ；

（2）若
，
使得
，则实数a的取值范围为 。

17．对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=
；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积Sn=(
)n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则

(I)当n = 1时,所得几何体的体积V1 =______.

(II)到第n步时，所得几何体的体积Vn =______.

记数列
为，其中
，
.

定义变换
，
将中的变为
；变为
.设
；

例如
，则
.

（1）若
，则
中的项数为 ；

（2）设为
，记
中相邻两项都是的数对个数为
，则
关于的表达式为 .

11．
12．3 13．x＋y—3=0 14．

15．（13，14） 16．[3，＋∞]，（1，
） 17．
，
（1）
（2）

18．已知数列
是首项为1公差为正的等差数列，数列
是首项为1的等比数列，设
(
)，且数列
的前三项依次为1，4，12。(1)求数列
,
的通项公式；(2)若等差数列
的前n项和为
，求数列
的和。

解：（1）设数列
公差为d，
的公比为q，则由题意知

,

,

,

……… 6分

(2)等差数列
的前项和为
=
+(n-1)
,

所以数列
是以首项为
，公差为
的等差数列，

所以其和
……… 12分

19（12分）．如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1，点E在SD上，且AE⊥SD。

（1）证明：AE⊥平面SDC；

（2）求三棱锥B—ECD的体积。

(Ⅰ)证明：侧棱
底面
，
底面

. ……………………….1分

又底面
是直角梯形，
垂直于
和

,又

侧面
,……………………….3分

侧面

平面
……………………….5分

(Ⅱ)

……7分

在
中

， ……9分

又因为
，

所以点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE ……11分

所以
……12分

20．已知向量
，
，设函数

的图象关于直线
对称，其中，为常数，且
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）若
的图象经过点
，求函数
在区间
上的取值范围.

【答案】（Ⅰ）因为

.

由直线
是
图象的一条对称轴，可得
，

所以
，即
．

又
，
，所以
，故
.

所以
的最小正周期是
.

（Ⅱ）由
的图象过点
，得
，

即
，即
.

故
，

由
，有
，

所以
，得
，

故函数
在
上的取值范围为
.

20（13分）在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数：

f（n）=100[Acos（ωn＋2）＋k]来刻画。

其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数，ω＞0，cos（
＋2）≈1，cos（
＋2）≈－1。

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增到8月份达到最多．

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的．f（n）的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季"?请说明理由．

21（本题14分）已知函数f（x）=
x2－lnx,g（x）=lnx－x

（1）求f（x）在（1，
）处的切线方程；

（2）若

①讨论函数h（x）的单调性；

②若对于任意
∈（0，+），
，均有
＞－1，求实数a的取值范围．

22．如图所