汕头市2013-2014学年高二下学期期末考试

文科数学

本卷共100分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号分别填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．单项选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答卷前必须先填好答题纸的密封线内各项内容。答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡、答题纸的整洁，考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回。

参考公式:锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
则图中阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．{x|x＞0} D．

2．是虚数单位，若复数Z=
，则复数Z的虚部是

A．-3 B.3 C．1 D．

3. 已知平面向量
，则实数
等于

A.
B.
C.
D.6

4. 设条件
, 条件
; 那么
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知直线
与圆
相切,且与直线

平行,则直线
的

方程是

A．
B．
或

C．
D．
或

6. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为

A.15 B.25 C.20 D.30

7．如图，正三棱柱
的底面边长和侧棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为

A.
B. C.
D.

8. 在
中，若
，
，
，则
的长度为

A．
B．
C．
D．

10. 定义在R上的函数
，如果存在函数
(k,b为常数），使得
对一切实数x都成立，则称
为函数
的一个承托函数．现有如下命题：

①对给定的函数
，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．

②函数
为函数
的一个承托函数．

③定义域和值域都是R的函数
不存在承托函数．

其中正确命题的序号是

A．①③　　　　 B．①　　　　　 C．①②　　　 D．②③

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11-13题）

11．已知
为等差数列,若
,

则
的值为_______．

12．阅读如图所示的程序框图，若输入
，

则输出的
值为______________．

13．已知点
满足条件
则目标函数
的最大值为_______.

（二）选做题（ 14、15小题，考生只能从中选做一个小题）

14.（几何证明选做题）如图，
中，
，

以
为直径的半圆交
于点
，若
，

则
.

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. (本小题满分12分)

已知函数
.

(1) 求
的值；

(2) 若
,
,求
.

17. (本小题满分12分)

某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

频率分布直方图 茎叶图

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．

18．(本小题满分14分)

如图，三棱柱
的底面是正三角形，
底面
，
为
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）若
，且沿侧棱
展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为13，求三棱锥
的体积．

19. （本小题满分14分）

已知数列
的前项和
．

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，求数列
的前
项的和
．

20.（本小题满分14分）

如图，动圆
,1

（1）求椭圆
的方程；

（2）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；

（3）求直线AA1与直线
交点M的轨迹方程.

21.（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）若
，求
在
上的最小值；

（2）若
，求函数
的单调区间；

（3）已知函数
若
有唯一解，求正数的值．

2014年汕头市普通高中高二下学期期末质量测评

数学（文科）参考答案

一、选择题：A C B B D C D B D B

第10题解：①显然正确； 对于②，
与
有两个交点，
不恒成立，

故②不正确；对于③如
，存在
满足
恒成立,

故③不正确选B

二、填空题：

11．
12. 2 13. 5 14. 3； 15. 1

三、解答题

第16题解：(1)
；……4分(2)
…6分

因为
,
,所以
, ……………… ……8分

所以
,
……………… 10分

所以


.…………12分

第17题解：(1)由题意可知，

样本容量
，…………………………………………………2分

，……………………………………………………………4分

． 6分

(2)由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为a，b，c，d，e，………..7分

分数在[90，100)有2人，分别记为F，G．……………………….8分

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：

(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，F)，(a，G)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，F)，(b，G)，(c，d)，(c，e)，(c，F)，(c，G)，(d，e)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，(F，G)，

共有21个基本事件；……………………………………….10分

其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a，F)，(a，G)，(b，F)，(b，G)，(c，F)，(c，G)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，共10个，……………………11分

所以抽取的2名同学来自不同组的概率
． 12分

18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想．满分14分．

解法一：（1）如图，连接
，交
于点
，连接
．……………………1分

∵三棱柱
的侧面是矩形，∴
为
中点，

为
的中点，

∴
． ……………………4分

又∵

∴
． ……………………7分

（2）∵三棱柱侧面展开图是矩形，且对角线长为13，侧棱
，

∴三棱柱底面周长为
， ……………………8分

又∵三棱柱的底面是正三角形，

∴
,
,
, ……………………10分

由已知得，

，……………………12分

∴
=

，

即三棱锥
的体积为
． ……………………14分

19. (1)
;…………2分

;

(3)
……9分

20.（1）
……4分

（2）设
,则矩形ABCD的面积
,……1分

由
，得
，从而

第21题解：(1)
………………1分

当
时，
………………………………….2分

………………3分

………….4分

(2) 当

……5分

令

………………6分

………………….7分

，减函数区间为
…………………….8分

当
，

，减函数区间为
………………..9分

（3）记g (x)＝f (x) –h (x)= x 2–2a lnx –2ax,

,……….10分，

若方程f(x)＝h(x)有唯一解，即g(x)＝0在
上有唯一解；

令
，得
．因为
，

所以
（舍去），
．

当
时，
，
在
是单调递减函数；

当
时，
，
在
上是单调递增函数．

当x=x2时,
，
．

因为
有唯一解，所以
．，

则
即
………….12分（列出每个方程得1分）

两式相减得2
因为a>0，所以
……….13分，

设函数
，因为在x >0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得
.……………………14分。