北京市东城区（南片）2013-2014学年下学期高二年级期末考试

数学试卷（理科）

（考试时间120分钟 满分100分）

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）

1. 在复平面内，复数
对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知
，若
，则

A.
B.
C.
D.

3. 二项式
展开式中的常数项为

A. －160 B. －180 C. 160 D. 180

4. 用反证法证明命题：“
至少有一个数大于25”时，假设正确的是

A. 假设
都大于25

B. 假设
都小于或等于25

C. 假设
至多有一个数大于25

D. 假设
至少有两个数大于25

5. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法种数为

A. 6 B. 12 C. 60 D. 90

6. 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且
，用向量
表示
为

A.

B.

C.

D.

7. 利用数学归纳法证明“
”时，从“
”变到“
”时，左边应增乘的因式是

A.
B.
C.
D.

8. 若函数
在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）

9.
＝__________。

10. 已知函数
（e为自然对数的底数），那么曲线
在点（0，1）处的切线方程为___________。

11. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是__________。

12. 已知
，则
的最小值是_______。

13. 在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率是__________。

14. 已知整数对按如下规律排成：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4）（2，3），（3，2），（4，1），……，照此规律则第60个数对是_________。

三、解答题（本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15. （本小题满分8分）

一次考试中，要求考生从试卷上的10个题目中任选3道题解答，其中6道甲类题，4道乙类题。

（Ⅰ）求考生所选题目都是甲类题的概率；

（Ⅱ）已知一考生所选的三道题目中有2道甲类题，1道乙类题，设该考生答对每道甲类题的概率都是
，答对每道乙类题的概率都是
，且各题答对与否相互独立；用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列与数学期望。

16. （本小题满分8分）

在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人。女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动。

（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；

（Ⅱ）能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系，为什么？

参考公式：
，其中
为样本容量。

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



17. （本小题满分9分）

3个人坐在一排6个座位上，问：

（Ⅰ）3个人都相邻的坐法有多少种？

（Ⅱ）空位都不相邻的坐法有多少种？

（Ⅲ）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？

18. （本小题满分9分）

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝DE＝1，CD＝2，M为CE上的点。

（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；

（Ⅱ）当M为CE中点时，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值。

19. （本小题满分10分）

已知函数
。

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求函数
的极值；

（Ⅱ）若对于
都有
成立，试求a的取值范围。

【试题答案】

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. A 2. C 3. A 4. B 5. D 6. D 7. B 8. D

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9.
10.
11.
12.
13.
14. （5，7）

三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分8分）

解：（1）设事件A＝“考生所选题目都是甲类题”。

所以
。 3分

（2）X所有的可能取值为
。

；

。

所以X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











所以
。 8分

16. （本小题满分8分）

解：（Ⅰ）列联表

看电视

运动

总计



男

20

35

55



女

40

25

65



总计

60

60

120



5分

（Ⅱ）解：因
＝7.552>6.635，故有99％的把握认为性别与休闲方式有关系。 8分

17. （本小题满分9分）

解：3个人排有
＝6种，3人排好后包含两端共有4个“间隔”可以插入空位。

（Ⅰ）若从第一个位置开始相邻坐下，有
种坐法

若从第二个位置开始相邻坐下，有
种坐法

同理，综上可知，共有4·
＝24种坐法 3分

（Ⅱ）空位都不相邻相当于将3个空位安插在4个“间隔”中，有
种

故有
种 6分

（Ⅲ）3个空位至少有2个相邻的情况有两类：

①3个空位恰有2个相邻，另有1个不相邻有
种

②3个空位都相邻，有
·
＝24种

综上可知，有72+24＝96种坐法 9分

18. （本小题满分9分）

解：（Ⅰ）因为矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面

互相垂直，且交于AD，

因为DE⊥AD，DE平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD。

又因为AD⊥CD，

所以DA，DC，DE三条线两两垂直，

以D点为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。

3分

因为AB＝AD＝DE＝1，CD＝2，

所以

所以

且
，

且
，

所以，直线BC⊥平面BDE。 6分

（Ⅱ）
，

所以

设
为平面BEF的一个法向量，则
，即
，

令
，得
。

设直线BM与平面BEF所成角为
，

则
，

所以直线BM与平面BEF所成角的正弦值为
。 9分

19. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）直线
的斜率为－1。

函数
的定义域为
，

因为
，所以
，所以
。

所以
。
。令

由
解得
；由
解得
。

所以
的单调增区间是
，单调减区间是
。

所以
的极小值为
。 5分

（Ⅱ）
，

由
解得
；由
解得
。

所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减。

所以当
时，函数
取得最小值，
。

因为对于
都有
成立，

所以
即可。

则
，则
，

解得
。

所以a的取值范围是
。 10分