安庆一中合肥六中联考高二年级2013-2014学年度

第二学期期末考试数学（文科）试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
，且
，则集合可以是（ ）

A.
B.

C.
D.

2、计算
（ ）

A． B． C．
D．

3、若
，则
（ ）

A.2 B.3 C.4 D.6

4、设
，则函数
的图像大致形状是（ ）

5、设直线
和平面
,下列四个命题中，正确的是（ ）

A.若
B.若

C.若
D.若

6、如图，是
所在的平面内一点，且满足
，
是
的三等分点，则（ ）

A.
B.

C.
D.

7、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（ ）

A.
B.
C.
D.

第6题图

第7题图

8、已知数列
的前项和
,其中
,且
．则（ ）

A．
不是等差数列，且
B.
是等差数列，且

C．
不是等差数列，且
D．
是等差数列，且

9、已知区域
的面积为
，点集
在坐标系中对应区域的面积为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C. D.

10、已知函数
与函数
的图象关于轴对称，若存在
，使

时，
成立，则的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11、执行如图所示的程序框图,则输出的值为_______________

12、为了了解雾霾天气对城市交通的影响，调查组对30个城市进行了抽样调查，现将所有城市从
随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知2号，8号，20号，26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是__________

13、已知圆
的圆心是直线
与轴的交点，且圆
被直线
所截得的弦长为4，则圆
的方程为 .

14、已知等比数列
的前项和为
，若
，且
，则
_____________.



15、对于函数
, 给出下列四个命题:

① 存在
, 使
；② 存在
, 使
恒成立；③存在
, 使函数
的图象关于坐标原点成中心对称；④ 函数f(x)的图象关于直线
对称；⑤ 函数f(x)的图象向左平移
就能得到
的图象.

其中正确命题的序号是 .

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.

16、（本题满分12分）已知函数

满足
，
，且当
时，
.

（1）证明：函数
是周期函数；（2）若
，求
的值.

17、（本题满分12分）

某校50名学生参加2013年全国数学联赛初赛，

成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果

按如下方式分成五组：第一组
，第二组

，…，第五组
．按上述分组

方法得到的频率分布直方图如图所示．

（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是

良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好

的人数；

（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．

18、（本题满分12分）

在锐角
中，
分别是角
的对边，
，
.

（1）求
的值； （2）若
，求
的值.

19、（本题满分13分）

如图，
为圆
的直径，为圆周上异于、

的一点，
垂直于圆
所在的平面，
于

点，
于点.

（1）求证：
平面
；

（2）若
，
，

求四面体
的体积.

20、（本题满分13分）已知集合
，
，

（1）若
，求的取值范围；

（2）是否存在实数使得
？若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

21、（本题满分13分）

在等差数列
中，
，
，记数列
的前项和为
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在正整数、，且
，使得
、
、
成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．

安庆一中合肥六中联考高二年级2013-2014学年度

第二学期期末考试数学（文科）参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

D

B

D

C

C

B

A

C



二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11、

12、14

13、

14、341或80

15、③④

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.

16、（1）∵
，∴
，又∵
，

∴
，函数
是以4为周期的周期函数；………6分

（2）由（1）可知
，∴

∴
，从而
，∴
，又
，

∴
，∴
.………12分

17、（1）由频率分布直方图知，成绩在
内的人数为：

（人）

所以该班成绩良好的人数为27人. ………5分

（2）由频率分布直方图知，成绩在
的人数为
人，设为、、；

成绩在
的人数为
人，设为、、
、.

若
时，有
3种情况；

若
时，有
6种情况；

若
分别在
和
内时，共有12种情况.

所以基本事件总数为21种，事件“
”所包含的基本事件个数有12种.

∴（
）
.………12分

18、（1）∵
，
，∵
，∴
，

∴
，∵
是锐角三角形， ∴
，

∴

；………6分

（2）∵
，∴
；又由正弦定理
，得
，解得
，
，∴
，
，

即边
的长为5. ………12分

19、（1）证明：∵BC为圆O的直径 ∴CD⊥BD

∵AB⊥圆O所在的平面 ∴AB⊥CD 且AB
BD=B

∴CD⊥平面ABD

又∵BF平面ABD ∴CD⊥BF

又∵BF⊥AD 且AD
CD=D

∴BF⊥平面ACD ………6分

（2）法一：∵AB=BC=，∠CBD=45° ∴BD=CD=

∵BE⊥AC ∴E为AC中点

又∵CD⊥平面ABD

∴E到平面BDF的距离为

在Rt△ABD中，由于BF⊥AD 得

∴

∴
………13分

法二：∵AB=BC=，∠CBD=45° ∴BD=CD=

∵BE⊥AC ∴E为AC中点 ∴E到边AD的距离为

在Rt△ABD中，由于BF⊥AD，得

，由（1）知BF⊥平面DEF

∴
………13分

20、（1）因为
，所以
，
，

，

法一：转化恒成立的不等式 也就是当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，令
，则
时
为减函数，故
，所以
，即
；………7分

法二：数形结合 令
，则
，得
；………7分

（2）因为
，所以要使
，只要
能成立，也就是
能成立，只要
即可，由（1）知
，即
.………13分

21、（1）设等差数列
的公差为
，

因为
即
解得

所以
．数列
的通项为

．………5分

（2）因为
，

所以数列
的前项和

．

假设存在正整数、，且
，使得
、
、
成等比数列，

则
．即
．

所以
．因为
，所以
．即
．

因为
，所以
．因为
，所以
．

此时
．

所以存在满足题意的正整数、，且只有一组解，即
，
． ………13分