选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

已知集合
，集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

若
，则z的共轭复数的虚部为（ ）

A .i B.-i C.1 D.-1

3.某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为
，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线离心率为（ ）

A.
B.2 C.
D.3

5.设等差数列
的前n项和为
，若
，则
( )

A. 9 B.
C.2 D.

6.已知函数
满足
，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为
、
,
的最小值为，则（ ）

A .
B.
C.
D.

8.已知O为坐标原点，点A（1,0），若点M（x,y）为平面区域
内的一个动点，则
的最小值为( )

A.3 B.
C.
D.

9.已知三个互不重合的平面
且
，给出下列命题：①
则
②
则
③若
则
④若
则

其中正确命题的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

10.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的
,有
，则当n∈N﹡时，有（ ）

A.
<
<
B.
<
<

C.
<
<
D.
<
<

11、斜率为2的直线L 经过抛物线
的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（ ）

A.1 B.
C.
D.

12.若定义在R上的函数f(x)的导函数为
，且满足
，

则
与
的大小关系为（ ）

A、
<
B、
=

C、
>
D、不能确定

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）

13.
的展开式中含
的项的系数为________

15.投两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是6点的概率为______

16.已知函数
图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是______

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

（1）求角A的大小 （2）若
，求△ABC的周长L的取值范围。

18.（本小题满分12分）

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点

（1）求证：AN∥平面 MBD （2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值

（3）求二面角M-BD-C的余弦值。

19.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的连续进球与射手

在场上的区域位置有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，

持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：

有关系

无关系

不知道



40岁以下

800

450

200



40岁以上（含40岁）

100

150

300



（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持有关系态度的人中抽取45人，求n的值

（Ⅱ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体。①从这10人中选取3人，求至少一人在40岁以下的概率②从这10人中人选取3人，若设40岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望。

20. （本小题满分12分）

设椭圆C:
的离心率
，右焦点到直线
1的距离
，O为坐标原点

（1）求椭圆C的方程

（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A、B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。

21. （本小题满分12分）

设函数
在
内有极值

（1）求实数的取值范围

（2）若
求证:

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）

如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若⊙O的半径为
，OA=
OM,求MN的长

23. （本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是
（t是参数）

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线L参数方程转化为普通方程

（Ⅱ）若直线L与曲线C相交于M、N两点，且
，求实数m的值

24. （本小题满分10分）

设全集

（1）解关于x的不等式

（2）记A为(1)中不等式的解集，集合
，若
恰有3个元素，求的取值范围。

2013—2014学年度下学期省五校高二尖子生竞赛

数学试题答案（理科）

三．解答题

17.解：（Ⅰ）

（2分）

（4分）

（ 6分）

，由正弦定理得

（8分）

（10分）

即

∴△ABC的周长L的取值范围为
（12分）

18.解：（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结OM，

∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，

∵M、N为侧棱PC的三等分点，∴CM=MN，

∴OM∥AN, ∵
平面MBD，AN平面MBD

∴AN∥平面MBD （4分）

（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz,

则A（0,0,0），B（3，0,0）, C(3,6,0),D(0,6,0)

P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)

∵
（6分）

∴异面直线AN与PD所成的角的余弦值为
（8分）

（3）∵侧棱PA⊥底面ABCD

∴平面BCD的一个法向量为

设平面MBD的法向量为

并且

，令y=1,得x=2,z=-2

∴平面MBD的一个法向量为
（10分）

由图知二面角
是锐角

∴二面角
的余弦值为
（12分）

19. （Ⅰ）由题意，得

∴n=100 （2分）

（Ⅱ）设所选取的人中有m人在40岁以下

则
，解得m=4 (4分)

①记“至少一人在40岁以下”为事件A

则
（6分）

②X的可能取值为0,1,2,3

（10分）

∴x的分布列为

X

0

1

2

3



P












（12分）

20.（Ⅰ）由
得
，即

由右焦点到直线
的距离为

得
，解得
，

所以椭圆C的方程为
。 （4分）

（Ⅱ）设A
B

直线AB的方程为y=kx+m与椭圆
联立消去y得

（6分）

∵OA⊥OB,

即

∵OA⊥OB，∴

当且仅当OA=OB时取“=”

由
得
（10分）

即弦的长度最小值是
（12分）

21.解：（Ⅰ）01时，

由
在
内有解，令
，

＝1不妨设
，则
，因
，所以
，解得
（5分）

证明：由
或
，由
或
，得
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增。由
，得
，由
，得
，所以
，因为
，所以

（9分）

记

则
,
在
上单调递增，

所以

故
（12分）

22.解：（Ⅰ）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，

则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB

∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN (3分)

由条件，根据切割线定理，有

所以
（5分）

（Ⅱ）OM=2，在Rt△BOM中，

延长BO交⊙O于点D，连接DN

由条件易知△BOM∽△BND，于是

即
，得BN=6 （8分）

所以MN=BN-BM=6-4=2 （10分）

23.解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为
（2分）

直线L的普通方程为x-y-m=0 (4分)

（Ⅱ）因为曲线C：
（6分）

所以，圆心到直线的距离是

（8分）

所以m=0或m=4 (10分)

此时原不等式的解集为
（5分）

（Ⅱ）
（6分）

∵
恰有3个元素，∴
，

∵
∴
∴
（7分）

∵
恰有3个元素

∴
或
或
（9分）

解得：

所以的取值范围为
（10分）