2012级高二年级第二学期期末联考试卷

数学（理科）

时量：120分钟 分值：150分

命题: 岳阳县一中 唐 亮 审题: 岳阳县一中 易正红

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.复数
在复平面内对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

3.设
为等差数列
的前项和,若
,公差
,
,则
( )

A． B． C． D．

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A．
B．

C．
D．

5.
的展开式中
的系数是( )

A．
B．

C．
D．

6.设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )A．若a⊥α且a⊥b,则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β,则α∥βC．若a∥α且a∥β,则α∥β D．若γ∥α且γ∥β,则α∥β

7.已知
是不等式组
表示的平面区域内的一点,点坐标为
,且为坐标原点,则
的最大值为( )

A． B． C． D．

8.现有6本不同的教科书,语文、数学、英语各2本,需将它们在书架上摆成一排(不叠放),

其中语文书必须摆在两端,且两本数学书相邻,则不同摆法的种数为( )

A．
B． C．
D．

9.直线
与圆
交于不同的两点
, ,且
,其中是坐标原点,则实数的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

10.已知函数f(x)＝
,则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时,实数a的取值

范围是( )A．(－1,0) B．
C．
D．

二、填空题（本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分）

（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

11.如右图,
为圆的直径,
,过圆上一点
作圆的切线，交
的延长线于点,过点
作
于点,若是
中点。则
。

12.在直角坐标系
中,以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线
与曲线
(为参数)有两个不同的交点,则实数的取值范围为 。

13.若
，则
的最大值为 。

（二）必作题（14～16题）

14.计算
= 。

15. 已知整数的数对列如下:

(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),……

则第60个数对是 。

16.如右图,一个类似杨辉三角的数阵，则

(1) 第9行的第2个数是 ；

(2) 若第n(n≥2)行的第2个数为291,则= 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

已知
,函数
在区间
上的最大值为2。

(Ⅰ) 求常数的值；

(Ⅱ) 在
中,角, ,所对的边是,
, ,若
,
,
面积为
,求边长。

18.(本小题满分12分)

某名牌大学从湖南省“自主选拔”招收某类特殊人才,对
位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如右下表。例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人。由于部分数据丢失,只知道从这
位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
。

(Ⅰ) 求,的值;

(Ⅱ) 从参加测试的
位学生中任意抽取位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率;

逻辑思维能力运动协调能力

一般

良好

优秀



一般

2

2

1



良好

4

b

1



优秀



3

a



(Ⅲ) 从参加测试的
位学生中任意抽取位,设抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀学生的人数为
,求随机变量
的分布列及其数学期望
。

19.(本小题满分12分)

如图,在四棱锥
中,底面
是正方形,侧面
底面
,
分别为
,
中点,
。

(Ⅰ) 求证:
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值。

20.(本小题满分13分)

为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会。计划用1600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数)。经测算,若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元。 (每平方米平均综合费用＝)。

(Ⅰ) 求k的值；

(Ⅱ) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

21.(本小题满分13分)

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为
,右焦点到到右顶点的距离为。

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 是否存在与椭圆交于,两点的直线
, 使得

成立？若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由。

22.(本小题满分13分)

已知
；

(Ⅰ) 对一切
恒成立,求实数的取值范围；

(Ⅱ) 当
时,求函数
在
上的最值；

(Ⅲ) 证明:对一切
,都有
成立。

益阳市一中 岳阳县一中 澧县一中二年二期期末联考试卷答案

数学（理科）

一、选择题

B B D A D D D C D C

二、填空题

11. 3 12.
13.
14. 6 15. (5,7) 16. (1) 66 (2) 18

三、解答题

17. 【解】（Ⅰ）
=

……………………………………2分

因为
,所以

故当
即
时,
得
………………6分

（Ⅱ）因为
,所以
,即

又
,所以
,故
,即
………………………8分

又
,由正弦定理得
①

且
,得
②

由①和②解得
………………………………………………………………10分

故
=7,所以
……………12分

18.【解】（I）设事件={抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生}．

由题意可知,
又
,故由古典概型知．

,得
,
……………………3分

（II）设事件={至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生}．

由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有人．

则
……………………………………………………… 6分

（III）由题知
的可能取值为, ,．

位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．

0

1

2













所以
,
,
．

所以
的分布列为,如右表所示,

所以
…………………… 12分

19. 【解】（Ⅰ）证明:如图,连结
．

因为底面
是正方形,所以
与
互相平分．

又因为是
中点,所以是
中点．

在△
中,是
中点,是
中点,

所以
∥
,又因为
平面
,

所以
∥平面
;……………………5分

（Ⅱ）取
中点,在△
中,因为
,所以
．

因为面
底面
,且面
面
,

所以
面
,因为
平面
,所以
．

又因为是
中点,所以

．

如图,以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系．

因为
,所以
,则有

,
,
,
,
,
,
,
．

于是
,
,
．

显然
是平面
的一个法向量．

设平面
的一个法向量是
．

故
即
令
则
．

所以
．

由图可知,二面角
为锐角,所以其余弦值为
………………………………12分

20.【解】(Ⅰ)当每栋楼建为5层时,那么每栋楼的建筑费用为:

又10栋楼的建筑总费用为:
,建筑总面积为
…………3分

所以每平方米的平均综合费用为

所以
…………………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)假设将这10栋楼房都建设为n 层,那么

①每栋楼的建筑费用:

……………………8分

②10栋楼的总建筑面积10000n平方米…………………………………………………9分

③小区楼房每平方米的平均综合费用为:

…………………………………11分

当且仅当
(
,即
时平均综合费用最小,最小值为1250元……13分

21.【解】(Ⅰ)设椭圆的方程为

,半焦距为.

依题意
,由右焦点到右顶点的距离为,得
,解得
,
．

所以
. 所以椭圆的标准方程是
;…………………………5分

(Ⅱ)假设存在这样的直线,符合题意,设
,则

由
,即
,等价于
．

所以
,即
,

故
,……①……………………………………………7分

由
得,
．

,化简得
……②

且
,
,…………………………………………………9分

代入①式得
,即
,得
,

又将
代入②式得,
中,
,解得,
．

从而
,
或
．

所以实数的取值范围是
.………………………………13分

22. 【解】(Ⅰ)对一切
恒成立,

即
恒成立.,即

在
恒成立.

令
,

, ………………3分

在
上

,在
上

,因此,
在
处取极小值,

也是最小值,即
,所以
.…………………………………………5分

(Ⅱ)当

,

,由

得
.…………6分

广义上讲,有
时,
,
递减,当
时,
,
递增,

又显然