第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

已知集合
，集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

若
，则z的共轭复数的虚部为（ ）

A .i B.-i C.1 D.-1

3.已知向量
和
的夹角为1200，
，则
（ ）

A.
B.
C. 4 D.

4.双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线离心率为（ ）

A.
B.2 C.
D.3

5.设等差数列
的前n项和为
，若
，则
( )

A. 9 B.
C.2 D.

6.已知函数
满足
，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为
、
,
的最小值为，则（ ）

A .
B.
C.
D.

8.已知O为坐标原点，点A（1,0），若点M（x,y）为平面区域
内的一个动点，则
的最小值为( )

A.9 B.
C.
D.

9.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积为（ ）

A．18 B.36 C.9 D.

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当
时
（m为常数）,则
的值为（ ）

A.
B.6 C.4 D.

11、斜率为2的直线L 经过抛物线
的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（ ）

A.1 B.
C.
D.

12.若定义在R上的函数f(x)满足：f(4)=
，且对任意
满足
，

则不等式
的解集为（ ）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）

13.已知为第二象限角，
,则
=_____________

15.已知圆C的圆心与点M（1，
）关于直线
对称，并且圆C与
相切，则圆C的方程为_______________

16.已知△ABC中，∠ABC=600，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为_______________

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分） 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

（1）求角A的大小 （2）若
，求△ABC的周长L的取值范围。

18.（本小题满分12分）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者，先从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
得到的频率分布直方图如图所示,

(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率。

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者。

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率。

19. （本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱

ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AD=A A1，

点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点。

求证： MF∥平面ABCD

求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1

20. （本小题满分12分）

已知圆G：
经过椭圆

的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m,0）(
)倾斜角为

的直线L交椭圆与C、D两点。

（1）求椭圆的方程

（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围。

21. （本小题满分12分）

已知是实数，函数

（1）若
，求的值及曲线
在点
处的切线方程。

（2）求
在
上的最大值。

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）

如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若⊙O的半径为
，OA=
OM,求MN的长

23. （本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是
（t是参数）

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线L参数方程转化为普通方程

（Ⅱ）若直线L与曲线C相交于M、N两点，且
，求实数m的值

24. （本小题满分10分）

设全集

（1）解关于x的不等式

2013—2014学年度下学期省五校高二尖子生竞赛

数学试题答案（文科）

三．解答题

17.解：（Ⅰ）

（2分）

（4分）

（ 6分）

，由正弦定理得

（8分）

（10分）

即

∴△ABC的周长L的取值范围为
（12分）

18.解：（Ⅰ）由题设可知，第3组的频率为
，第4组的频率为
，第5组的频率为
. （3分）

（Ⅱ）第3组的人数为
，第4组的人数为
，

第5组的人数为
。因为第3,4,5组共有60名志愿者，若利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第3组为
，第4组为
，第5组为
.所以应从第3,4,5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者。 （6分）

（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的一名志愿者为C。

其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C）（B2，C），共9种。 （10分）

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
（12分）

19.（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN

∵F是BB1的中点，∴F为C!N的中点，B为CN的中点，

∴又因为M为线段AC！的中点，∴MF∥AN，又
平面 ABCD，
平面ABCD，
∥平面ABCD。 （6分）

（2）连接BD，由题知
平面AB-CD，又
平面ABCD，
.四边形ABCD为菱形，
.又
,
平面
,
平面
,
平面
.在四边形DANB中，DA∥BN,且DA=BN,，四边形DANB为平行四边形，
∥BD，
平面
。又
平面
，平面
⊥平面
。 （12分）

20.（Ⅰ）圆
经过点F、B，
故椭圆的方程为
（4分）

（Ⅱ）设直线L的方程为

由
消去得

由
解得
。

又
（6分）

设
则
（8分）

（10分）

点F在圆E内部，

即
解得0

∴m的取值范围是
. （12分）

21.解：（Ⅰ）
，因为
（2分）

又当
时

所以曲线
在
处的切线方程为
（4分）

（Ⅱ）令
，解得
，

当
即
时，
在
上单调递增，从而
。（6分）

当
即
时，
在
上单调递减，从而

（8分）

22.解：（Ⅰ）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，

则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB

∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN (3分)

由条件，根据切割线定理，有

所以
（5分）

（Ⅱ）OM=2，在Rt△BOM中，

延长BO交⊙O于点D，连接DN

由条件易知△BOM∽△BND，于是

即
，得BN=6 （8分）

所以MN=BN-BM=6-4=2 （10分）

23.解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为
（2分）

直线L的普通方程为x-y-m=0 (4分)

（Ⅱ）因为曲线C：
（6分）

所以，圆心到直线的距离是

（8分）

所以m=0或m=4 (10分)

24．解：（Ⅰ）∵
∴

ⅰ当
即
时，原不等式的解集为R （2分）

ⅱ当
即
时，
或

∴
或

此时原不等式的解集为
（5分）

（Ⅱ）
（6分）

∵
恰有3个元素，∴
，

∵
∴
∴
（7分）

∵
恰有3个元素

∴
或
或
（9分）