2012级高二年级第二学期期末联考试卷

数学（文科）

时量：120分钟 分值：150分

命题：岳阳县一中 李远明 审题：岳阳县一中 唐元波

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)

1. 已知全集
，集合
,则
( )

．
．
．
．

2. 复数
的实部和模分别为（ ）

．
．
．
．

3. 了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm的株数是 ( )



．
．
．
．

4. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是一个圆，那么这 个几何体的体积为（ ）

．
． ．
．

5.“
”是“
”的 （ ）

．充分不必要条件　 ．必要不充分条件

．充分必要条件 ．既不充分又不必要条件

6. 若平面向量
与
的夹角为，且
，则
的坐标为 ( )

.
．
．
．

7. 设某大学的女生体重 (单位：
)与身高(单位：
)具有线性相关关系，根据一组样本数据(
，
)(
)，用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论中不正确的是(　 　)

． 与具有正的线性相关关系

．回归直线过样本点的中心(，)

．若该大学某女生身高增加
，则其体重约增加

．若该大学某女生身高为
，则可断定其体重必为

8. 在
中，若
，则
的形状是( )

．钝角三角形 ．直角三角形 ．锐角三角形 ．不能确定

9. 设二元一次不等式组
所表示的平面区域为
，使函数
的图象经过区域
的的取值范围是（ ）

．
．
．
．

10. 若定义在上的函数
满足
，且
时，
，函数
则函数
在区间[－5,5]内的零点个数是(　 　)

． ． ． ．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号的横线上）

11. 如右图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 。

12. 设
为直线
与曲线
（
为参数）的两个交点，则弦长
。

13. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○●●○○○●●○○○○○●●…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 。

14. 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 。

15. 定义函数
＝
，其中
表示不超过x的最大整数， 如：
，
．当
时，设函数
的值域为，记集合中的元素个数为
，则

⑴
　 　； ⑵
的最小值为　 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分12分)

函数
(
)的部分图像如图所示。

(Ⅰ) 求函数
的解析式;

(Ⅱ) 锐角
中,角
的对边分别为
,若
,且
,

求角
的大小。

17. (本小题满分12分)

相关人员数

抽取人数



公务员

36





工人

54





自由职业者

72

4



某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、工人、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见右表（单位：人）。

(Ⅰ) 求研究小组的总人数；

(Ⅱ) 若从研究小组的公务员和工人中共随机选2人，求其中恰好有1人来自工人的概率。

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
⊥底面
，
⊥
，点在线段
上，且
∥
。

(Ⅰ) 求证：
⊥平面
；

(Ⅱ) 若
，
，
，
，若四棱锥
的体积为
时，求直线
与底面
所成的角。

19. (本小题满分13分)

已知
是首项
且公比
的等比数列，
依次成等差数列。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前项和为
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的范围。

20. (本小题满分13分)

已知抛物线
，圆
的圆心
到抛物线
的准线的距离为
，点是抛物线
上一点，过点
的直线交抛物线
于另一点
，且
，过点作圆
的两条切线，切点为、。

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）求直线
的方程及
的值。

21. (本小题满分13分)

已知函数
,
,函数
的图象在点
处的切线平行于轴。

(Ⅰ) 确定与
的关系；

(Ⅱ) 若
,试讨论函数
的单调性；

(Ⅲ) 设斜率为
的直线与函数
的图象交于两点
,(
),证明:
。

益阳市一中 岳阳县一中 澧县一中二年二期期末联考试卷答案

数学（文科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1-5 B C D B A 6-10 B D A C C

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 4 12.
13. 白色 14. ＋＝1 15. ⑴　4 　⑵

三、解答题（共75分）

16. (本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由图像可知
…… 2分

且
∴
∴
…… 4分

故函数
的解析式为
……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
∴


……8分

由余弦定理得:


……10分

从而

……12分

17.(本小题满分12分)

解：⑴ 依题意，
……2分，解得
，
……4分，研究小组的总人数为
（人）……6分．

⑵ 设研究小组中公务员为
、
，工人为
、
、
，

从中随机选人，不同的选取结果有：

、

、

、

、

、

、

、

、

、

，共
种…… 8分，

其中恰好有1人来自工人的结果有：

、

、

、

、

、

……10分，

所以恰好有1人来自工人的概率为
……12分．

18.（本小题满分12分）

(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE, ……2分

因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A, ……4分

所以CE⊥平面PAD ……6分

(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD
,CE=CD
.

又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以

=
=
, ……8分

又PA⊥平面ABCD,PA=
,所以四棱锥P-ABCD的体积等于
，
……10分

PA⊥底面ABCD，所以直线
与底面
所成的角为

,所以
……12分

19. (本小题满分13分)

解： (Ⅰ) 由题，设
的公比为，则
，

由
依次成等差数列，所以
． ……2分

即
，解得
或
又
，故
……4分

所以数列
的通项公式为
． ……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
，所以
…… 8分

则
，
，
…11分

由
恒成立，得
． ……13分

20. (本小题满分13分)

解析：（Ⅰ）
，∴
， …………………………1分

抛物线
的准线方程是
，依题意：

，∴
， …………………………3分

∴抛物线
的方程为：
. …………………………4分

（Ⅱ）设PQ的方程：

，设
，

则
，
，

∵
，∴
，
…①

又
…②，
…③，

由①②③得
,

∴PQ的方程为：
………………………………………………………9分

取PQ的方程：
，和抛物线
联立得P点坐标为P（4,8）

∴
，连接
，
，

设
，则
， ……………………………11分

∴
.………… ………13分

21. (本小题满分13分)

解析：(I) 依题意得
,则

由函数
的图象在点
处的切线平行于轴得:

∴
. ……3分

(II) 由(1)得

.

∵函数
的定义域为
∴当
时,

由
得
,由
得
, 即函数
在(0,1)上单调递增,在
单调递减; 当
时,令
得
或
,

若
,即
时,由
得
或
,由
得
,

即函数
在
,
上单调递增,在
单调递减;

若
,即
时,由
得
或
,由
得
,

即函数
在
,
上单调递增,在
单调递减;

若
,即
时,在
上恒有
, 即函数
在
上单调递增,

综上得:当
时,函数
在(0,1)上单调递增,在
单调递减;

当
时,函数
在
单调递增,在
单调递减;在
上单调递增;

当
时,函数
在
上单调递增,

当
时,函数
在
上单调递增,在
单调递减;在
上单调递增. ……8分

(III) 依题意得
,

证
,即证

因
,即证

令
(
),即证
(
) 令
(
)则

∴
在(1,+)上单调递增,

∴
=0,即
(
)--------------②

综①②得
(
),即
. ……13分