华山中学2013-2014学年高二下学期期末考试

数学理试题

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

1.是虚数单位，复数
的实部为

A． B．
C． D．

2. 命题：“对任意的x∈R，
”的否定是（ ）

A、不存在x∈R，
B、存在x∈R，x2-2x-3≤0

C、存在x∈R，x2-2x-3＞0 D、对任意的x∈R，x2-2x-3＞0

3.
是椭圆
(＞
＞0)的左、右焦点，若在椭圆上存在点
,则椭圆的离心率的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D.

4. 当
时，下列各函数中，最小值为的是（ ）

A）
B）
C）
D）

5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则

A．
　　　B．
　　C．
　　　D．

6．在极坐标系中与圆
相切的一条直线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 用数学归纳法证明：

的过程中，从“到
”左端需增加的代数式为（??? ）

A.
B.
C.
+
D.
-

8．函数
的最小值为

（A）
（B）
（C）不存在 （D）

9. 设函数
的所有正的极小值点从小到大排成的数列为
，则
=( )

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
f(x)=
则关于x的方程
有5个不同实数解的充要条件是 ( )

A. b<-2 且 c>0 B. b>-2 且 c<0 C. b<-2 且 c=0 D. b-2 且 c=0

11．设抛物线
的焦点为F，点M在抛物线上，延长线段MF与直线
交于点N，则
的值为 （ ）

A．
B．
C． D．4

12.若函数
,
,对

使
则
的最小值是 ( )

A．
B．
C．
D.

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分。

13．
的展开式中，常数项为　　　　（用数字作答）．

14.华山中学高中部今年新招了5名大学生，需要分到三个不同的年级，每个年级至少一名，共有多少种分配方案 （用数字作答）

15．一点在直线上从时刻
开始以速度
运动，则此点前3秒所走过的路程为

16. 平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，CB＝2，BB1=3，∠ABC＝90°，

∠B1BA= ∠B1BC＝60°，则线段BD1的长度等于________．

三、解答题：本大题共6小题,第17题10分，其余每题12分，共70分，答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知曲线
(为参数)，曲线
（t为参数），分别将曲线
与曲线
化为普通方程。（2）点P是曲线
上的动点，求P到曲线
的距离的最小值，并求此时点P点的直角坐标系下的坐标。

18. 已知函数
(1)求函数
的值域;

(2)若对任意实数
恒成立，求实数的取值范围.

19. 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

20.现有长分别为
、
、
的钢管各
根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,
），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

（Ⅰ）当
时,记事件
{抽取的
根钢管中恰有根长度相等}，求
；

（Ⅱ）当
时,若用
表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,求
的分布列及E(
) ；

21. 21. （本小题满分12分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
的焦点，离心率是

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使
为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

22.已知函数
.

(1) 当
时，求函数
的单调区间；

(2) 当
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内， 求实数的取值范围．



………………………………10分

18题：方法不唯一（1）值域为
………………5分

(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，DA、DB、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则

A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)，

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

因此可取n＝(，1，)．

设平面PBC的法向量为m，则

可取m＝(0，－1，－)．cos〈m，n〉＝＝－.

故二面角A－PB－C的余弦值为－.

20解：(Ⅰ)事件为随机事件，
………………………………………4分

（Ⅱ）①
可能的取值为

2

3

4

5

6

















∴
的分布列为：

……………………………………………………10分

②
………………………………12分

21.解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且

故所求方程为
即
………………4分

（2）假设存在点M符合题意，设AB：
代入
得：

………………5分

则
………6分

……10分

要使上式与K无关，则有
，解得
，存在点
满足题意。12分

22.解：(1) 当.时，

，

，

由
解得
，由
解得
.

故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. (4分)

(2) 因函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，

则当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，、

设
(
)，只需
即可．

由

，

(i) 当
时，
，

当
时，
，函数
在
上单调递减，故
成立．

(ii) 当
时，由
，因
，所以
，

① 若
，即
时，在区间
上，
，

则函数
在
上单调递增，
在
上无最大值，当
时，
，此时不满足条件；

② 若
，即
时，函数
在
上单调递减，

在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，当
时，
，不满足条件．

(iii) 当
时，由
，∵
，∴
，

∴
，故函数
在
上单调递减，故
成立．

综上所述，实数a的取值范围是
． (12分)