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吉林一中2013—2014学年度下学期期末高二数学理考试

高二数学理试题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号

一

二

三

四

五

总分



得分















注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明

评卷人

得分











一、单项选择





1. 已知
的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（ ）

A．5 B．20 C．10 D．40

2. 已知等式

，则
的值分别为（　　）

A．
B．
C．
D．

3. 某事件发生的概率为
，则事件在一次试验中发生的次数
的方差的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于（　　）

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

5. 某同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为（ ）

A．96 B．180 C．360 D．720

6. 在二项式（
的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为（ ）

A．18 B．12 C．9 D．6

7. $selection$

8. 在
的二项式展开式中,常数项是 （　　）

A．504 B．84 C．
D．

9. 已知数列
是等差数列,且
,则
的值为 （　　）

A．
B．
C．
D．

10. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（　　）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

11. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ）

A．30种 B．60种

C．90种 D．150种

12. 如图所示，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是

(　　)．

A．72° B．63°

C．54° D．36°

第II卷（非选择题）

请修改第II卷的文字说明

评卷人

得分











二、填空题





13. 如图（3）所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为 ．

14. 设
,则二项式
展开式中的
项的系数为

15. 设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则

16. 如图2,
是⊙
的直径,是
延长线上的一点,过作⊙
的切线,切点为
,
,若
,则⊙
的直径
__________ .

评卷人

得分











三、解答题





17. 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．

18. 如图，在
中，
是
的角平分线，
的外接圆交
于，
，

（1）求证：

（2）当
时，求
的长.

19. 已知
，当
时，求证：

（1）
；

（2）
.

20. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数；

（2）从这15天的数据中任取2天数据，记
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求
的分布列及数学期望；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

21. 某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为
,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.

(1)求该公司决定对该项目投资的概率;

(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.

22. 如图,已知
切⊙于点E,割线PBA交⊙于A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证:

(Ⅰ)
;

(Ⅱ)
.

参考答案

一、单项选择

1.【答案】C

【解析】先根据展开式的二项式系数之和求出n的值，然后利用二项式的展开式找出x的指数为1时r的值，从而可求出展开式中含x项的系数．解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，则二项式的展开式为Tr+1=
x2（5-r）?x-r=
x10-3r，令10-3r=1解得r=3，∴展开式中含x项的系数是，
=10,故选C．

2.【答案】D

【解析】根据题意，由于等式

，则

，
的值分别为
可知答案为D。

3.【答案】C

【解析】根据题意，由于事件发生的概率为
，事件在一次试验中发生的次数
的期望值为p,方差为p(1-p)=p-p
,结合二次函数的性质可知函数的最大值为
，故可知答案为C.

4.【答案】C

【解析】

5.【答案】B

【解析】

6.【答案】C

【解析】

7.【答案】C

【解析】

8.【答案】B

【解析】

9.【答案】A

【解析】
,∴
,∴
,

∴
,

10.【答案】C

【解析】

11.【答案】D

【解析】

12.【答案】B

【解析】连结OB.∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.

∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.

又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°.

∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.

二、填空题

13.【答案】

【解析】设r是⊙O的半径．由
，解得r=3.由
解得
。

14.【答案】-160

【解析】

15.【答案】-2

【解析】
，故
．

16.【答案】

【解析】

三、解答题

17.【答案】

【解析】因为AB是圆O的直径，所以∠APB＝90°，从而∠BPC＝90°．

在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从而BE＝EP，因此∠1＝∠3．

又因为B、P为圆O上的点，所以OB＝OP，从而∠2＝∠4．

因为BC切圆O于点B，所以∠ABC＝90°，即∠1+∠2=90°，

从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE＝90°．所以OP⊥PE．

18.【答案】（1）证明：连接DE，∵ACDE为圆的内接四边形. ∴∠BDE=∠BCA又∠DBE=∠CBA

∴△BDE∽△BCA 即
而 AB=2AC ∴BE=2DE，又CD是∠ACB的平分线 ∴AD=DE 从而BE=2AD.

（2）

【解析】

19.【答案】

【解析】（1）因为
，

所以当
时，

=

.

所以
． ………………………………………………………………4分

（2）由（1）得
，即
，

所以
…

　
…

…

…

． ………………………………………………………………10分

［另法：可用数学归纳法来证明
…
］

20.【答案】(1)由茎叶图可得中位数是

(2) 依据条件，
服从超几何分布：

其中
，
的可能值为

由
，

得
，

，
，

所以
的分布列为：





















(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为

一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则～

一年中平均有
天的空气质量达到一级或二级

【解析】

21.【答案】

解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P=C

2
+C

3=

(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:

“同意”票张数

“中立”票张数

“反对”票张数



事件A

0

0

3



事件B

1

0

2



事件C

1

1

1



事件D

0

1

2





P(A)=C

3=
,P(B)=C

3=
,P(C)=C
C

3=
, P(D)=C

3=

∵A、B、C、D互斥,

∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=

【解析】

22.【答案】(Ⅰ)证明:
切⊙于点,

平分

,

(Ⅱ)证明:

∽
,

同理
∽
,

【解析】