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绝密★启用前 吉林一中2013—2014学年度下学期期末高二数学文考试 高二数学文试题 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单项选择 1. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是( ) A．63 B．31 C．15 D．7 2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有恒成立，则不等式 的解集是（ ） A.(-2,0) ∪(2,+∞) B.(-2,0) ∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 3. 已知，且，i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. i是虚数单位,复数对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5. 函数的部分图像可能是（ ） A． B． C． D． 6. 已知函数f（x）＝lnx＋tanα（α∈（0，））的导函数为，若使得＝成立的＜1，则实数α的取值范围为（ ） A．（，） B．（0，） C．（，） D．（0，） 7. $selection$ 8. 复数的共轭复数是( ) A． B． C． D． 9. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.[0,) 10. 当x≠0时，有不等式( ) A．ex<1＋x B．当x>0时，ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x D．当x<0时，ex<1＋x，当x>0时，ex>1＋x 11. 函数f(x)对定义在R上的任意x都有f(2-x)=f(x),且当时其导函数满足,若,则有 （ ） A． B． C． D． 12. 已知函数下列结论中① ②函数的图象是中心对称图形 ③若是的极小值点，则在区间单调递减 ④若是的极值点，则． 正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 请修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13. 已知两个非零向量a与b，定义ab＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则ab＝________． 14. 复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 ． 15. 已知数列的通项公式为，前n项和为。若对于任意正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为__________. 16. 已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列. 评卷人 得分 三、解答题 17. 已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a． (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0． 18. 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 19. 已知函数,其中. (1) 讨论函数的单调性,并求出的极值； (2) 若对于任意,都存在,使得,求实数的取值范围. 20. 已知 （1）当时，求的极大值点； （2）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 21. 已知函数为自然对数的底数 (Ⅰ)当时，求函数的极值； (Ⅱ)若函数在上单调递减，求的取值范围． 22. 数列的前n项和为,存在常数A,B,C,使得对任意正整数n都成立. ⑴若数列为等差数列,求证:3A-B+C=0; ⑵若设数列的前n项和为,求; ⑶若C=0,是首项为1的等差数列,设,求不超过P的最大整数的值. 参考答案 一、单项选择 1.【答案】A 【解析】 2.【答案】D 【解析】 3.【答案】D 【解析】，且，故复数在复平面内所对应的点位于第四象限. 4.【答案】B 【解析】 5.【答案】D 【解析】 6.【答案】A 【解析】 7.【答案】B 【解析】$selection$ 8.【答案】C 【解析】∵，∴复数的共轭复数是，故选C. 9.【答案】A 【解析】因为，所以，选A. 10.【答案】C 【解析】 11.【答案】C 【解析】 12.【答案】C 【解析】 二、填空题 13.【答案】6 【解析】a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a·b＝|a||b|·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，ab＝5×2×＝6. 14.【答案】1 【解析】因为，复数（是虚数单位）是纯虚数， 所以，，解得，， 故答案为1. 15.【答案】5 【解析】 16.【答案】 【解析】由等差数列的的和，则等比数列可类比为 ﹒的积；对求算术平均值，所以对 ﹒求几何平均值，所以类比结果为. 三、解答题 17.【答案】解：由题意得f′(x)＝12x2－2a． 当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a＞0时，， 此时函数f(x)的单调递增区间为 和． 单调递减区间为． 证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2． 当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2． 设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1， 则g′(x)＝6x2－2＝， 于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 1 单调递减 极小值 单调递增 1 所以，g(x)min＝＞0． 所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0． 故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0． 【解析】 18.【答案】（1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得： 【解析】 19.【答案】 【解析】(1),所以. 易知,在单调递减,在单调递增. 所以. (2). 20.【答案】解：（1）， 令h’(x)=0，则4x2+2x-1=0，解出x1=, x2= ， 所以的极大值点为． （2）设P、Q的坐标分别是．则M、N的横坐标． ∴C1在点M处的切线斜率为 ，C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，即 则 设t=, 则…………① 令 ,则, ∴r(t)在[1,+∞）上单调递增，故r(t)> r(1)=0．∴，这与①矛盾，假设不成立， 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． 【解析】 21.【答案】（I）当时，， 当变化时，，的变化情况如下表： 1 3 － 0 ＋ 0 － 递减 极小值 递增 极大值 递减 所以，当时，函数的极小值为，极大值为 （II） 令 ①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减 ②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内， ， 函数在区间上单调递减 ③若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减 综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是． 【解析】 22.【答案】⑴因为为等差数列,设公差为,由, 得, 即对任意正整数都成立. 所以所以. ⑵ 因为,所以, 当时,, 所以,即, 所以,而, 所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以. 于是.所以①,,② 由①②, 得. 所以. ⑶ 因为是首项为的等差数列,由⑴知,公差,所以. 而 , 所以, 所以,不超过的最大整数为. 【解析】 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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