黑龙江省哈六中2013-2014学年高二下学期期末考试数学（理）试题

考试时间：120分钟 满分：150分

选择题：（每题5分共60分）

1．设全集为，集合
，则
( )

2．若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )

3．执行如右下图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的最大值是(　 　)

4．若直线的参数方程为
，则直线的斜率为( )

5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球
次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到
次为止．设某学生一次发球成功的概率为
，发球次数为
，若
的数学期望
，则的取值范围是(　　)

6．已知函数
有两个极值点，则实数的取值范围是( )

7．如右图，设抛物线
的顶点为，与轴正半轴的交点为，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为
，随机往
内投一点， 则点落在
内的概率是( )

8．已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
，则的取值范围是

9. 在极坐标系中,直线
与曲线
相交于
两点,
为极点,则
的大小为 （　　）

10．哈六中15届高二有
名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取
人做问卷调查, 将
人按
随机编号, 则抽取的
人中,编号落入区间
的人数为（　　）

11．下列值等于的定积分是（ ）

12.设是函数
定义域内的一个子区间，若存在
，使
，则称
是
的一个“开心点”，也称
在区间上存在开心点.若函数
在区间
上存在开心点，则实数的取值范围是（ ）

二、填空题（每题5分共20分）

13. 已知集合
，
，则
。

14. 函数
的单调递减区间是 。

15.下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真命题的序号）

①若
，则“
”是“
”成立的充分不必要条件；

②命题 “
使得
”的否定是 “
均有
”；

③命题“若
，则
或
”的否命题是“若
，则
”；

④函数
在区间
上有且仅有一个零点.

16．已知函数
，当
时，给出下列几个结论：

①
；②
；③
;

④当
时，
.

其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．

三、解答题

17.设
,函数
，若
的解集为，

求实数的取值范围（10分）

18.某高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予
分降分资格；考核为优秀， 授予
分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
、
、
，他们考核所得的等级相互独立．（12分）

(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；

(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量
，求随机变量
的分布列和数学期望．

19．在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
,已知过点
的直线
的参数方程为:
（为参数）,直线
与曲线
分别交于
两点．

(1)写出曲线
和直线
的普通方程；

(2)若
成等比数列,求的值．

20．已知函数
，其中
，且曲线
在点
处的切线垂直于
.（12分）

（1）求的值；

（2）求函数
的单调区间与极值.

21.某中学一名数学老师对全班
名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分
分)，其中
分(含
分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（12分）

男生 女生

(1)根据以上两个直方图完成下面的×列联表：

成绩性别

优秀

不优秀

总计



男生









女生









总计











(2)根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？

(注：




































，其中
)

(3)若从成绩在
的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．

22．已知函数
。（12分）

(1)若
的单调减区间是
,求实数的值;

(2)若函数
在区间
上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；

(3)
是函数
的两个极值点,
。求证：对任意的
，不等式
恒成立．

高二（理科）数学答案

一、选择题：（每题5分共60分）

综上
--------------------------------------------------------------2分

18. (1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.

则事件A、B、C是相互独立事件，事件


与事件E是对立事件，于是

P(E)＝1－P(


)＝1－(1－
)(1－
)(1－
)＝
.----------------------4分

(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.

P(ξ＝30)＝P(


)＝(1－
)(1－
)(1－
)＝
，

P(ξ＝40)＝P(A

)＋P(
B
)＋P(

C)＝
，

P(ξ＝50)＝P(AB
)＋P(A
C)＋P(
BC)＝
，

P(ξ＝60)＝P(ABC)＝
.

所以ξ的分布列为

ξ

30

40

50

60



P













∴E(ξ)＝30×
＋40×
＋50×
＋60×
＝
. ----------------------8分

20. （1）对
求导得
，由
在点
处切线垂直于直线

知
解得
；-------------------------------------------4分

（2）由（1）知
，则

令
，解得
或
.因
不在
的定义域
内，故舍去.

当
时，
故
在
内为减函数；----------------------------2分

当
时，
故
在
内为增函数；-------------------------2分

由此知函数
在
时取得极小值
.--------------------------------4分

21. (1)

成绩性别

优秀

不优秀

总计



男生

13

10

23



女生

7

20

27



总计

20

30

50



------------------------------4分

(2)由(1)中表格的数据知， K2＝