第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．复数
= ( )

A. 2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i

2．抛物线
在点
处的切线的倾斜角是( )

A. 30
B.45
C. 60
D. 90

3.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：

零件数（个）

10

20

30



加工时间（分钟）

21

30

39



 现已求得上表数据的回归方程
中的
值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )

A．84分钟 B．94分钟 C．102分钟 D．112分钟

4．已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
的值等于（ ）

A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4

5.已知在R上可导的函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为(　 )

A.
B.

C.
D.

6．如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P（B|A）=（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若对于任意的实数，都有
，

则
的值是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

8. 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(　 　)

A．512 B．192 C．240 D．108

9．定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，设
是函数
的零点的最大值，则下列论断一定错误的是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷 （ 非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

11～12题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题4分，请考生任选2题作答，满分8分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）矩阵
的特征值为______________．

（2）设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______________．

（3）函数
=
的最小值为________________．

13．
展开式中的常数项是_________________.

14．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒子中有球的不同放法种数为______________．

15．已知点
是函数
的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论
成立．运用类比思想方法可知，若点
是函数
的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．

三、解答题:本大题有6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P(ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．

(Ⅰ) 求证：BE∥平面PAD；

(Ⅱ) 求二面角E(BD(C的余弦值．

17．(本小题满分13分)

小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表：

售出个数

10

11

12

13

14

15



天数

3

3

3

6

9

6



试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：

（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；

（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量. 试求小王增加订购量的概率.

（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.

18.（本小题满分13分）

如右图所示，抛物线
与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为
元
，其它的三个边角地块每单位面积价值元.

（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；

（Ⅱ）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.

19．(本题满分13分)

已知曲线C上任意一点P到两定点F1((1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M((4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．

(ⅰ)证明： k·kON为定值；

(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

20．(本题满分14分)

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2(x，a∈R．

(Ⅰ)当
时，求函数y=f(x)的极值；

(Ⅱ)是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈((1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

如图，向量
被矩阵M对应的变换作用后分别变成
，

（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求
在作用后的函数解析式.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

曲线C的极坐标方程为
，以极点O为原点，极轴Ox为x的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系xoy.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程为
．.若C与
的交点为P，求点P与点A（-2,0）的距离|PA|.

（3）已知不等式
.

(I)求该不等式的解集M； (II)若
，求证:

养正中学、安溪一中2013—2014学年度高二（下）期末联考

数学试卷(理）参考答案

一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

11～12（1） －3，8 （2）ρcos2θ－sin θ＝0 （3） 3

13．
14．37 15．

三、解答题:本大题有6题，共80分。

16.（本小题满分13分）

(Ⅰ) 证明：令
中点为，连接
，……………1分

点
分别是
的中点，

,


.

四边形
为平行四边形.………2分

,
平面
,

平面
……………4分

(三个条件少写一个不得该步骤分)

　　　　 ……………5分

(Ⅱ)以为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系．

则
.

因为E是PC的中点，所以E的坐标为
……………6分

设平面DBE的一个法向量为
，而

则
令
则
所以
………9分

而平面DBC的一个法向量可为

故
……………12分

所以二面角E(BD(C的余弦值为
。 ……………13分

（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为元，

则的所有可能取值为80，95，110，125，140. ……..9分

其分布列为

利润

80

95

110

125

140



概率

0.1

0.1

0.1

0.2

0.5



 ………11分

则

所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元. ……..13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
，

故等待开垦土地的面积为
　………3分

（Ⅱ）设点C的坐标为
，则点B
其中
，

∴
………………………………………………5分

∴土地总价值

＝
………………………………………………7分

由
得
……………………9分

并且当
时，

故当
时，y取得最大值. ……………………………………12分

答：当点C的坐标为
时，整个地块的总价值最大. ……………13分

19．(本题满分13分)

解：(Ⅰ)
． ……………4分

(Ⅱ)设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2) (x2>y2)．

(ⅰ)联立方程组
，得
，

则
， ……………5分

故
，
， ……………7分

所以
，所以k?kON=
为定值. ……………8分

(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC?kFN= (1，

因为F1 ((1,0)，
故

， ……10分

代入y2=k(x2+4)得x2=(2(8k2，y2=2k (8k3，而x2≥(2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在．…………………………………… 13分

(Ⅱ)由题意

(1)当a≤0时，函数f(x)在((1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,

此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈((1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)； ……………7分

(2)当a>0时，令
有x=0或
，

(ⅰ)当
即
时，函数f(x)在
和(0,+∞)上单调递增，在
上单调递减，要存在实数b∈(0,1)，使得当x∈((1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，则
，代入化简得
……（1）

令
，因
恒成立，

故恒有
，∴
时，（1）式恒成立； ………10分

（ⅱ）当
即
时，函数f(x)在
和
上单调递增， 在
上单调递减，

此时由题，只需
，解得
，又
，

∴此时实数a的取值范围是
； ……………12分

（ⅲ）当
时，函数f(x)在
上单调递增，

显然符合题意； ……………13分

综上，实数a的取值范围是
．………………………… 14分

21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

（Ⅰ）待定系数设M=
求得
， ……………3分

（Ⅱ）在
的图象上任取一点
，被M作用的点为

，代入
后得：
………7分

(3)解:(I)

--
------------------3分

解得:
，所以该不等式的解集
------------4分

(II)法一:

，
,即原不等式成立…………7分

法二:

,即原不等式成立. …………7分