满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合
若
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
,则复数
= ( )

A．-1+i B．1-i C．-i D．i

3．
的值为( )

A．0 ? B．1 C．
D． 2

4.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
R使得
”的否定是：“
R均有
”．

6．已知
，则
（ ）

A.22014 B. 32013 C. 1 D. -1

7．若
是R上周期为5的奇函数，且满足
则
=（ ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

8.设变量x，y满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

9．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（ ）

A.
B．
C．
D．

10．设等比数列
的公比为，其前项的积为
，并且满足条件
，
，
.给出下列结论：

①
； ②
；

③
的值是
中最大的；④ 使
成立的最大自然数等于198.

其中正确的结论是（ ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

11．(几何证明选讲)如图,圆的半径为1,、、是圆周上的三点,满足
,过点作圆的切线与
的延长线交于点,则
__________.

12．（坐标系与参数方程）在直角坐标系
中，以原点
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线
的参数方程为
（为参数），曲线
的极坐标方程为
，则直线
被曲线
截得的弦长为 。

13．（不等式选讲）已知
，则实数的取值范围为 。

14．执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是_________.

15.已知向量
=(
,
),
=(,)，若
，则=　 　 　 　.

1

3

5

7

9

…



2

6

10

14

18

…



4

12

20

28

36

…



8

24

40

56

72

…



16

48

80

112

114

…



…

…

…

…

…

…



16．如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，6，5），

（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…。并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…。

⑴第7群中的第2项是： ；

⑵第n群中n个数的和是： 。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数

⑴求函数
在[
]上的单调区间；

⑵已知角满足
，
，求
的值。

18．（12分）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：

学生













数学

89

91

93

95

97



物理

87

89

89

92

93



⑴分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

⑵从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．

19.（本题满分12分）如图，在三棱锥
中，
,
,为
的中点，
,
=
.

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值

20．（13分）在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器（只有一个下底面和侧面的长方体）.该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.

21．（13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（
,0）的距离减去它到y轴距离的差都是
.

⑴求曲线C的方程；

⑵是曲线C上的动点，点
在轴上，圆
内切于
，求
面积的最小值．

22．（13分）已知函数
在点
处的切线方程为6x+3y-10=0，且对任意的

恒成立．

⑴求a,b的值； ⑵求实数k的最小值； ⑶证明：

2014年上学期期末测试试卷

高二数学（理科）参考答案

(2)

∵
，∴

∴
（12分）

18.。（12分）解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:

5名学生数学成绩的方差为:

5名学生物理成绩的平均分为:

5名学生物理成绩的方差为:

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,

所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. ……………………6分

（Ⅱ）由题意可知，
，，

随机变量的分布列是

X

0

1

2



P（X）










. ……………………12分

19.（12分）题分析：（Ⅰ）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在
中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得
为直角三角形，
．

又
，且是
的中点，可得
，从而证得
平面
，即证得

平面
平面
．

20．（13分）解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x ，

所以V1= (4－2x)2·x = 4(x3－4x2 ＋ 4x) (0

∴V1/ = 4(3x2－8x ＋ 4)，……….. ……….. ……….. 3

令V1/ = 0，即4(3x2－8x ＋ 4) = 0，解得x1 = ，x2 = 2 (舍去) ．--------4

∵ V1在(0，2)内只有一个极值，

∴ 当x = 时，V1取得最大值．<5,即不符合要求. ….…. …. 6

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2 = 3×2×1 = 6，显然V2>5．

故第二种方案符合要求．

图① 图② 图③

…. …. …. …. …. …. ….13

注：第二问答案不唯一。

21. （13分）解： ⑴设
是曲线
上任意一点，那么点
满足：

化简得
. ……………………5分

⑵设
，不妨设
．

直线
的方程:
，

化简得
．

又圆心
到
的距离为1，

，

故
，

易知
，上式化简得
， 同理有
．

所以
，
，则
．

因
是抛物线上的点，有
，则
，
．

所以

．. ……………………11分

当
时，上式取等号，此时
．因此
的最小值为8． ………………13分

22. （13分） 解：（Ⅰ）
， ∴
①

将
代入直线方程得
，∴
②

①②联立，解得
. ……………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，∴
在
上恒成立；

即
在
恒成立；

设
，
，∴只需证对于任意的
有

设
，

1）当
，即
时，
，∴

在
单调递增，∴

2）当
，即
时，设
是方程
的两根且

由
，可知
，

分析题意可知当
时对任意
有
；

∴
，∴
综上分析，实数的最小值为. . ……………………8分

（Ⅲ）令
，有
即
在
恒成立

令
，得

∴

∴原不等式得证. . ……………………13分