满分：150分 时量：120分钟

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知
，
，
，则有( )

A．
B.

C．
D.

2、已知复数
则
= （ ）

A．2 B.1 C.
D.

3、“
”是“
”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

4、命题“若
，则
”的逆否命题是 （ ）

A.若
，则
B.若
，则

C.若
，则
D.若
，则

5、已知函数

，若
，则实数的值等于 （ ）

A.-3 B. -5 C.1 D.3

6、设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

7、已条变量
满足
则
的最小值是( )

A．4 B.3 C.2 D.1

8、已知奇函数
，当
时，
，则
的值是（ ）

A．6 B.-6 C.3 D.-3

9、双曲线
的离心率
，点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点，
，则sin
等于( )

A.
B.
C.
D.

10、设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”，区间
称为 “关联区间”．若
与
在
上是“关联函数”，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

二 、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在对应题号后的横线上。

11、极坐标系是以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴．已知直线
方程为：
，圆
的极坐标方程为：
，若直线
经过圆C的圆心，则常数的值为 。

12、已知圆
与直线
交于
两点，则线段
长度等于 。

13、已知向量
=（1，2），
，
，则
。

15、一个总体分为A、B两层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知B层中的每个个体被抽到的概率都为
，则总体中的个体数为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求
的最小正周期：

（2）求
在区间
上的最大值和最小值

17、（本小题满分12分）

从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．

(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．

18、（本小题满分12分）

如图6，在四棱锥
中，
，底面
是等腰梯形，
.

（1）证明：
；

（2）若
，，求四棱锥
的体积.

19、（本小题满分13分）

设
是公比大于1的等比数列，
为数列
的前项和．已知
＝7，且
构成等差数列．

(1)求数列
的通项；

(2)令
，
求数列
的前项和

20、（本小题满分13分）

已知椭圆的两个焦点分别为
,离心率
.

求椭圆的方程

一条不与坐标轴平行的直线
与椭圆交于不同的两点
,且线段
中点的横坐标为
，求直线
的倾斜角的取值范围。

21、本小题满分（13分）

已知函数

（1）试判断函数
上单调性并证明你的结论；

（2）若
恒成立，求整数k的最大值；

（3）求证：

2014年上学期期末测试试卷答案

高二数学（文科）

满分：150分 时量：120分钟

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11． 12. 13.

14． 15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（2）因为
…………………8分

于是，当
时，
取得最大值2；…………………10分

当
取得最小值—1. …………………………12分

17、（本小题满分12分）

从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．

(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．

解 设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．......2分

设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，

∴P(A)＝＝，

故所选2人中恰有一名男生的概率为.....................................7分

(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)， (a2，b2)，(a2，b3)，共7种，

∴P(B)＝，

故所选2人中至少有一名女生的概率为...................................12分

18、（本小题满分12分）

如图6，在四棱锥
中，
，底面
是等腰梯形，
.

（1）证明：
；

（2）若
，，求四棱锥
的体积.

解：（1）证明：
，
，故
，所以
..........................................................5分

（2）
且
是等腰梯形，且

故
......................................................8分

又
，故
.......................................................12分

19、（本小题满分13分）

设
是公比大于1的等比数列，
为数列
的前项和．已知
＝7，且
构成等差数列．

(1)求数列
的通项；

(2)令
，
求数列
的前项和

解　(1)由已知得

，解得a2＝2.................2分

设数列{an}的公比为q，由a2＝2，

可得a1＝，a3＝2q

又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，

即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝........................5分

由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.

故数列{an}的通项为an＝2n－1...............................6分

(2)由(1)得a3n＋1＝23n，

∴bn＝ln a3n＋1＝ln 23n＝3nln 2.............................8分

又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝＝·ln 2.

故Tn＝ln 2..........................................13分

20、（本小题满分13分）

已知椭圆的两个焦点分别为
,离心率
.

求椭圆的方程

一条不与坐标轴平行的直线
与椭圆交于不同的两点
,且线段
中点的横坐标为
，求直线
的倾斜角的取值范围。

解：（1）根据题意可设椭圆的方程为：

…………………(2分)

由已知可得
，
，
，所以
，

所以椭圆方程为
………………………………………………4分

由题意可知，直线的倾斜角不可能为
和
，所以可设直线
的方程为
，联立椭圆方程，有
，消去，有

，

即：
………………………………………8分

设
，则
，因为线段
中点的横坐标为
，

所以
，又
，所以
，所以

所以
…………………………………………………13分

21、本小题满分（13分）

已知函数

（1）试判断函数
上单调性并证明你的结论；

（2）若
恒成立，求整数k的最大值；

（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3.

解：（1）
…………（2分）

上是减函数.……………………………………………………（4分）

（2）

即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）

则
上单调递增，

又

存在唯一实根a，且满足

当

∴

故正整数k的最大值是3 ……………………9分

（3）由（Ⅱ）知

∴
………………10分

令
，则

∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]

∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ………………13分