鹤岗一中2013-2014学年高二下学期期末考试

数学理

选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）

1.已知集合A=
B=
则
( )

A.
B.
C.
D.

2.已知
,则“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是（ ）.

A. f：x→y＝
x B. f：x→y＝
x C. f：x→y＝
x D. f：x→y＝
x

4.下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是（ )．

A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1

C．x－2y＝6 D．x＝

5. 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A．c＞b＞a　　　　　　　B．b＞c＞a

C．a＞c＞b D．a＞b＞c

6.设函数
，
的定义域都为R，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）

A.

是偶函数 B .|
|
是奇函数

C.
|
|是奇函数 D.|

|是奇函数

7. 下列函数中，与函数
有相同定义域的是( )

A .
B．
C．
D．

8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( )

A．y＝cos2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0

C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R

9. 在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )．

(10)已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则x－y的取值范围是( )

A．[－2，－1] B．[－2,1]

C．[－1,2] D．[1,2]

11.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )．

A．2 800元 B．3 000元 C．3 800元 D．3 818元

12.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)

C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)

二 填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）

13. 已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________.

14.函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中m，n>0)，则＋的最小值等于________．

15.若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)

16. 已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：

①函数f(x)的最小值是－1；

②函数f (x)在R上是单调函数；

③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；

④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有

其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．

三，解答题

17.已知向量
，n∈N*，向量
与
垂直，且a1＝1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.

18．中国2010年上海世博会已于2010年5月1日在上海隆重开馆．小王某天乘火车从重庆到上海去参观世博会,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0．8、0．7、0．9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求:

(1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2）这三列火车至少有一列正点到达的概率

19..如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．

(1)求证：AC⊥DE；

(2)已知二面角A-PB-D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

20．已知椭圆
的离心率为

（I）若原点到直线
的距离为
求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为
的直线和椭圆交于A，B两点.

当
，求b的值；

21.已知函数
（
为常数）的图像与
轴交于点
，曲线
在点
处的切线斜率为-1.

（I）求
的值及函数
的极值；（II）证明：当
时，
；

（III）证明：对任意给定的正数
，总存在
，使得当
，恒有
.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且
，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

23.(本小题10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
，（
为参数），圆
的参数方程为
，（
为参数）.

（I）求直线
和圆
的普通方程；

（II）若直线
与圆
有公共点，求实数
的取值范围.

24.（本小题10分）选修4—5：不等式选讲

已知定义在R上的函数
的最小值为
.

（I）求
的值；

（II）若
为正实数，且
，求证：
.

高二数学理科试题答案

一.选择题

1.C 2 A 3. A 4. A 5.D 6. C

7. A 8.B 9. D 10. C 11 .C 12.B

二.填空题

13.0 14.8 15.
16.(1)(3)(4)

三．解答题

17.解：(1)∵向量p与q垂直，

∴2nan＋1－2n＋1an＝0，即2nan＋1＝2n＋1an，

∴＝2，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴an＝2n－1.

(2)∵bn＝log2an＋1，∴bn＝n，∴an·bn＝n·2n－1，

∴Sn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①

∴2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，②

①－②得，

－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n＝(1－n)2n－1，

∴Sn＝1＋(n－1)2n.

18.用
、
、
分别表示这三列火车正点到达的事件．则

所以

(1）恰好有两列正点到达的概率为

(2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

19.解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)，
＝(－1，，0)，
＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，则根据

得令y＝1，得平面PAB的一个法向量为n2＝.

∵二面角A-PB-D的余弦值为，

则|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得t＝2或t＝－2(舍去)，

∴P(0，－，2)．

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵
＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，

则sin θ＝|cos〈
，n2〉|＝＝，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.

20. 【答案】解：（I）

解得

椭圆的方程为

（II）∵e
椭圆的方程可化为：

①

易知右焦点
，据题意有AB：
②

由①，②有：
③

设
，

21.解法一：（I）由
，得
.又
,得
.所以
.令
,得
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.所以当
时,
取得极小值,且极小值为
无极大值.

（II）令
,则
.由（I）得
,故
在R上单调递增,又
,因此,当
时,
,即
.

（III）①若
,则
.又由（II）知，当
时,
.所以当
时,
.取
,当
时，恒有
.

②若
,令
,要使不等式
成立，只要
成立.而要使
成立，则只要
,只要
成立.令
,则
.所以当
时,
在
内单调递增.取
,所以
在
内单调递增.又
.易知
.所以
.即存在
,当
时，恒有
.

综上，对任意给定的正数c，总存在
,当
时,恒有
.

解法二：（I）同解法一

（II）同解法一

（III）对任意给定的正数c，取

由（II）知，当x>0时，
，所以

当
时，

因此，对任意给定的正数c，总存在
,当
时,恒有
.

22.（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.

由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.

由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.

(Ⅱ)连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，

从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA.

又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.

由于

于是ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.

解.（I）直线
的普通方程为
.圆C的普通方程为
.

（II）因为直线
与圆有公共点,故圆C的圆心到直线
的距离
,解得
.

24.解（I）因为
,当且仅当
时,等号成立,所以
的最小值等于3,即
.

（II