鹤岗一中2013-2014学年高二下学期期末考试

数学文

考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟．

（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．

第I卷（选择题, 共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、设
则

A、
B、
C、
D、

2、命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是

A、“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B、“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C、“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D、“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

3、函数
的图像

A、 关于原点对称 B、关于主线
对称

C、 关于
轴对称 D、关于直线
对称

4、若
是R上周期为5的奇函数，且满足
，则

A、
B、
C、
D、

5、函数
的单调递减区间是

A、（
，+∞） B、（－∞，
）

C、（0，
） D、（e，+∞）

6、命题“
”为假命题，是“
”的

A、充要条件 B、必要不充分条件

C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

7、已知奇函数
当
时，
，则当
时，
的表达式是

A、
B、
C、
D、

8、已知函数
的周期为2，当
∈[－1,1]时
，那么函数
的图象与函数
的图象的交点共有

A、10个 B、9个 C、8个 D、1个

9、函数
的零点所在的一个区间是（ ）

A、（-2,-1） B、（-1,0） C、（0,1） D、（1,2）

10、设
是定义在
上且以5为周期的奇函数，若

则
的取值范围是

A、
B、
C、（0，3） D、

11、已知函数
，
，若有
，则b的取值范围为

A、[2－，2＋] B、(2－，2＋)

C、[1,3] D、(1,3)

12、函数
定义在
上的非负可导函数,且满足
,对任意正数
, 若
,则必有

A、
B、

C、
D、

第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数
的定义域为

14、若函数
，则
＝

15、若奇函数
在
上单调递减，则不等式
的解集是

16、若
是定义在R上的奇函数，且满足
，给出下列4个结论：

（1）
； （2）
是以4为周期的函数；

（3）
； (4)
的图像关于直线
对称；

其中所有正确结论的序号是

解答题（解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分12分）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，

向量
,
,若

（1）求角A的大小；

（2）若
的面积.

18、(本小题满分12分)

某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日



温差

10

11

13

12

8



发芽数
颗

23

25

30

26

16



（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为
，求事件“
均不小于25的概率。

（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出
关于
的线性回归方程
；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：
，
）

19、（本小题满分12分）

如图，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
,点
在底面内的射影恰好是
的中点，且

(1)求证:平面

平面
;

(2)若
，求点
到平面
的距离.

20、(本题满分12分)

已知抛物线方程为
，过点

作直线与抛物线交于两点
,
，过
分别作抛物线的切线，两切线的交点为
.

（I）求
的值；

（II）求点
的纵坐标；

（III）求△
面积的最小值.

21、（本小题满分12分）

已知函数
=
（
，

（1）当
时，判断函数
在定义域上的单调性；

（2）若函数
与
的图像有两个不同的交点
，求
的取值范围。

（3）设点
和
（
是函数
图像上的两点，平行于
的切线以
为切点，求证
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
的直径
，
是
延长线上一点，
，割线
交圆
于点
,
，过点
作
的垂线，交直线
于点
，交直线
于点
.

（I）求证：
;

（II）求
的值.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知曲线
:
，在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，直线
的极坐标方程为
.

（I）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、
倍后得到曲线
，试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（II）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最大，并求出此最大值.

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（I）当
时，求
的解集；

（II）当
时，
恒成立，求实数
的集合.

高二数学试题（文科）答案

一、选择题

BBAAC AAACB BA

二、填空题

13、
14、2

15、
16、（1）（2）（3）

三、解答题

17、解析：（1）
------------------------------2

-----------------------------------------------------------4

又
，

--------------------6

（2）
，
-----------------------------------------------8

，
------------------------------------------------------10

为等腰三角形，
。----------------------------------------12

18.解：（1）
的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个……2分

设“
均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）所以
，故事件A的概率为
………………………4分

（2）由数据得
，
，
，
，
…………6分

由公式，得
，

所以
关于
的线性回归方程为
……………………………8分

（3）当
时，
，|22-23|
，当
时，
|17-16|

所以得到的线性回归方程是可靠的。……………………………12分

19. 解:（本小题满分12分）

(1)取
中点
，连接
，则
面
，

，

----------5分

（2）设点
到平面
的距离
，…………6分

,……………………8分

……………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）由已知直线
的方程为
，代入
得
，
，∴
，
. …………………………2分

由导数的几何意义知过点
的切线斜率为
， …………………………3分

∴切线方程为
，化简得
① ………………4分

同理过点
的切线方程为
② …………………6分

由
，得
， ③

将③代入①得
，∴点
的纵坐标为
. ………………………7分

（III）解法1：设直线
的方程为
，

由（I）知
，
，

∵点
到直线
的距离为
， ………………………………………8分

线段
的长度为

. …………………………………………9分

， ………………11分

当且仅当
时取等号，∴△
面积的最小值为
. …………………12分

（

3）由已知：
，所以

由

，故

同理

综上所述得

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解法1：（I）连接
，则
，

即
、
、
、
四点共圆.

∴
. …………………………3分

又
、
、
、
四点共圆，∴

∴
. ………………………5分

∵
，

∴
、
、
、
四点共圆， ………………7分

∴
，又
， ………9分

. ………………………………………10分

解法2：（I）连接
，则
，又

∴
，

∵
，∴
. ………5分

（II）∵
，
，

∴
∽
，∴
,

即
, …………7分

又∵
， …………………9分

∴
. ………………………………………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（I）由题意知，直线
的直角坐标方程为
， …………………2分

由题意知曲线
的直角坐标方程为
， ………………………4分

∴曲线
的参数方程为
（
为参数）. …………………………6分

（II）设
，则点
到直线
的距离

， …………………………8分

当
时，即点
的坐标为
时，点
到直线
的距离最大，

此时
. ………………………………………10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（I）解：原不等式可化为
，

当
时，