2013学年第二学期高二数学期中考试试卷（理科）

命题：朱振华 审题：卞宝林

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分,其中第1题和第8题分实验班和普通班。）

1．（普通班做）已知集合
，
，则
等于 （ ）

A．
B.
C.
D.

1．（实验班做） a为正实数，i为虚数单位，且
，则a = （ ）

A．1 B．
C．
D．2

2．设集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．若向量
与
的夹角为120° ，且
，则有 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．在
中，角
所对的边分别为
，若
，b=
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．

6．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象 （ ）

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

7．设、
为钝角且
，
,则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．
或

8. （普通班做）设函数
是定义在上的以5为周期的奇函数，若
，则的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

8．（实验班做）若函数
在
是增函数，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

9．在
中，
，如果不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A ．
B．

C．
D．

10．已知函数

，若|
|≥
，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分,其中第15题分实验班和普通班。）

11．

12．
，则
=______________

13．已知向量
，向量
，且
与
的夹角为
，则
在
方向上的投影是____

14. 函数
的图像恒过定点，点在幂函数
的图像上，则
______________

15．（普通班做）函数
的最大值等于

15．（实验班做）函数y= x +2cosx在区间[0，
]上的最大值是

16. 函数
在
上为增函数，则实数的取值范围是_________

17．已知函数
是R上的偶函数，对于
都有
成立，且f(2)＝－1，当x1，x2 [0,3]，且x1≠x2时，都有
>0.

则给出下列命题：

① f(2014)＝－1； ② 函数y＝f(x)图像的一条对称轴为x＝6；

③ 函数y＝f(x)在[6，9]上为增函数；

④ 函数f(x)在[－12,12]上有8个零点．

其中所有正确命题的序号为____________．

三、解答题（本大题共5小题，满分72分，其中第20题分实验班和普通班。）

18．(本题满分14分)

设全集
，集合=
， =
。

(1) 求
；

(2) 若集合

,满足
，求实数的取值范围.

19.（本题满分14分）

已知向量
，记函数
.

(1) 求函数
的最小值及取得小值时的集合；

(2) 求函数
的单调递增区间.

20．(本题满分14分)

（普通班做）已知函数f(x)＝是奇函数．

(1) 求实数m的值；

(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

（实验班做）已知a为实数，
.

(1) 求导数
；

(2) 若
，求
在[－2，2] 上的最大值和最小值；

(3) 若
在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。

21．（本题满分15分）

在
中，、
、分别为内角
所对的边，且满足:

．

(1) 证明：
；

(2) 如图，点
是
外一点，设

，

，当
时，求平面四边形
面积的最大值．

22．（本题满分15分）

已知函数
是奇函数，且满足

(1) 求实数，
的值；

(2) 试指出函数的单调区间（不必证明），

并用定义法证明函数
在区间
的单调性；

(3) 是否存在实数
同时满足以下两个条件：

① 不等式
对
恒成立；

② 方程
在
上有解．若存在，试求出实数
的取值范围，若不存在，请说明理由．

菱湖中学2013学年第二学期

高二数学（理科）期中考试试卷参考答案

一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分）

C A A B B C C B D D

二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）

11．
12．
13．
14．

15．（普通班）
（实验班）
16．
17． ①②③

三、解答题（本题共5小题，共72分）

18．（本小题满分14分）

(1)
=
（7分）

(2)
-4 （14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）

(3分)

=
， (5分)

当且仅当
,即

时，
，

此时的集合是
. (7分)

（2）由
，

所以
, (10分)

所以函数
的单调递增区间为
. （11分）

所以
（13分）

所以函数
的单调递增区间为

（14分）

20．（本小题满分14分）

(普通班) （1）m=2 （7分）

（2）
（14分）

（实验班）解：（1）由原式得

∴
（4分）

（2）由
得
,此时有
.

由
得
或x=-1 , （6分）

又
（8分）

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为
最小值为
（9分）

（3）解法一:
的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,

由条件得

（11分）

即
∴－2≤a≤2. 所以a的取值范围为[－2,2]. （14分）

解法二:令
即

由求根公式得:
（10分）

所以
在
和
上非负.

由题意可知,当x≤-2或x≥2时,
≥0, （11分）

从而x1≥-2, x2≤2, （12分）

即
解不等式组得－2≤a≤2.

∴a的取值范围是[－2,2]. （14分）

21．（本小题满分15分）

（1）略 （7分）

（2）因为
，所以
，所以
为等边三角形

（10分）

（13分）

,
，

当且仅当
即
时取最大值,

的最大值为
（15分）

22．（本小题满分15分）

解：（1）由
，解得b=4， （2分）

由
（x≠0）是奇函数，得
恒成立，

即
； （5分）

（2）由（1）知，
，任取
，
，

，∴
，∴
， （8分）

所以，函数f（x）在区间(0，2]单调递减； （9分）

类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增。

（3）对于条件①：

由（2）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值
（10分）

故若
对x∈（0，+∞）恒成立，

则需
，∴
； （11分）

对于条件②：由（2）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，

在[-2，0)单调递减，

∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，