一，选择题（每小题5分，共10题50分）

已知函数f(x) = x 3的切线的斜率等于1,则切线有几条( )

A. 1条 B . 2条 C. 3条 D. 不确定

2.复数满足
，则复数的实部与虚部之差为 （ ）

A．
B． C． D．

3.已知|x-a|

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

4.已知数列
的前项和
，而
，通过计算
，猜想
等于( )

A．
B．
C．
D．

5．某个命题与正整数有关，若当
时该命题成立，那么可推得当

时该命题也成立，现已知当
时该命题不成立，那么可推得( )

A．当
时，该命题不成立 B．当
时，该命题成立

C．当
时，该命题成立 D．当
时，该命题不成立

6.已知函数f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为(　 　)

A．(0,1) B．(1，)

C．(－2，－) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

7.若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间 (k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　 　)

[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) D．[，2)

8.圆的直径为d，其内接矩形面积最大时的边h为( 　)

A.d B.d C.d D.d

9.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）

10.给出命题：若
是正常数，且
，
，则
(当且仅当
时等号成立). 根据上面命题，可以得到函数
（
）的最小值及取最小值时的x值分别为( )

A．11+6
，
B．11+6
，
C．25，
D．25，

二.填空题（每小题5分，共5题25分）

11.当x＞2时，使不等式x+ ≥a恒成立的实数a的取值范围是 ,

12.设复数
为实数时,则实数的值是_________，

13. 已知函数y＝
在区间
上为减函数, 则的取值范围是_____,

14.若
在R上可导,
,则
____________.

15. 设函数
，（、
、是两两不等的常数），

则
.

三.解答题（共6题，共75分）

16. （本小题12分） 已知函数
在
处取得极值，求函数
以及
的极大值和极小值.

（本小题12分）
为坐标原点，已知向量
,
分别对应复数z1 , z2 , 且z1=
z2=
(aR),
+z2 可以与任意实数比较大小，求
的值。

18.（本小题12分）设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的封闭图形的面积分别记为S1，S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；

(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值.,

19. （本小题12分）已知数列{an}的通项an=n2＋n,试问是否存在常数p，q，使等式
并用数学归纳法证明，若不存在说明理由。

20. （本小题13分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

21. （本小题14分）已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex其中e是自然对数的底数a∈R.

(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若a<0，求f(x)的单调区间；

(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数g(x)＝x3＋x2＋m的图象有3个不同的交点，求 实数m的取值范围．

宜春中学2013-2014学年下学期期中考试高二数学（理）答案

选择题 （每题5分，共50分）

填空题 （每题5分，共25分）

11.（-∞，4], 12. 3 , 13.
, 14. -18 , 15.0 .

三．解答题

（12分）

解：

依题意，
，

即

∴
，

令
，得x=-1或x=1，

当x变化时，
与
的变化情况如下表：







1

(1，+∞)





+

0

—

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



∴
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
.

17. （12分） 由题意知
+z2 为实数，
，

得
+z2 =

的虚部为0， a2+2a-15=0 , 解得a=- 5 或a= 3 ；又分母不能为0， a= 3 ，此时，z1 =
+ i , z2 = - 1 + i ,

= (
，1）
= （- 1 , 1 ) ,
=

18.（12分）解：(1)设点P的横坐标为t(0

S1＝

S2＝

19.（12分）

解：令n=1，2，得方程组
,
即有p+q=8,4p+2q=22,解得p=3,q=5

∴

用数学归纳法证明如下：

当n=1时，左边=
，右边=
故等式成立；

（2）假设当n=k时等式成立，

即

当n=k＋1时，

＝

＝

即n=k+1时等式成立。由（1），（2）可知对一切自然数n，等式都成立。

20.（13分）

解（1）根据题意有

（0

所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.

（2）根据题意有
，

所以，

当
时，
，

所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.

此时，包装盒的高与底面边长的比值为
.

即x=20包装盒容积V（cm
）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为

21.（14分）

[解]　(1)a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex，

所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，

所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.

又因为f(1)＝e，

所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex＝[ax2＋(2a＋1)x]ex，

①若－－时，f′(x)<0；

当00.

所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，[－，＋∞)；单调递增区间为[0，－]．

②若a＝－，则f′(x)＝－x2ex≤0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．

③若a<－，当x<－或x>0时，f′(x)<0；

当－0.