南昌三中2013—2014学年度下学期期中考试

高二数学（理）试卷

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1、下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2、 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )

A、140种 B、120种 C、35种 D、34种

3、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）

则该几何体的体积为（ 　　）
．

A．
B．
C．
D．

4、已知三棱锥的底面是边长为2正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)

A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立

B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立

C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

6、设、
是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

7.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2
，则该二面角的大小为 （ ）

A.150° B.45° C.60° D.120°

8、 将一个真命题中的“个平面”换成“条直线”、“条直线”换成“个平面”，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题

①垂直于同一个平面的两条直线平行 ②垂直于同一个平面的两个平面平行；

③平行于同一条直线的两条直线平行 ④平行于同一个平面的两条直线平行。

其中是“可换命题”的是（ ）

A．①② B．①④ C．①③ D．③④

9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和，且长为的棱与长为
的棱异面，则的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10、正方体的八个顶点共可以连成28条直线，从这28条直线中任取2条直线，这2条直线恰好是一对异面直线.则这样不同的异面直线有多_____对（ ）

A、174 B、87 C、348 D 84

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)

11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．

12．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上________________________

13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为__________．

14. 已知正三棱锥
，点
都在半径为
的球面上，若
两两相互垂直，则球心到截面
的距离为 ．

15、下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。

其中，真命题的编号是＿＿＿＿(写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分12分)　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(数字作答)

17. (本小题满分12分)已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2
，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.（1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离.

18. (本小题满分12分)如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值.

19. (本小题满分12分)在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点， 求点B到平面CMN的距离.

20、(本小题满分13分)一段楼梯共有12个阶梯，某人上楼时，有时迈一阶有时迈两阶，(1) 此人共用7步走完，问有多少种不同的上楼的方法。(2)试求此人共有多少种不同的上楼的方法。

21．(本小题满分14分)．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°.(1)求异面直线BD和AA1所成的角；(2)求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；(3)在直线CC1上否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

南昌市第三中学2013-2014学年度下学期期中考试

高二数学（理）答卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题（每小题5分，共25分）

11、 . 12、 . 13、 .

14、 _. 15、_______________.

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分12分)　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(数字作答)

17. (本小题满分12分)已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2
，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.（1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离.

18. (本小题满分12分)如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值.

19. (本小题满分12分)在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点， 求点B到平面CMN的距离.

20、(本小题满分13分)一段楼梯共有12个阶梯，某人上楼时，有时迈一阶有时迈两阶，(1) 此人共用7步走完，问有多少种不同的上楼的方法。(2)试求此人共有多少种不同的上楼的方法。

21．(本小题满分14分)．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°.(1)求异面直线BD和AA1所成的角；(2)求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；(3)在直线CC1上否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

高二数学（理）答案

1-5 CDCCD 6-10 DCCAA

11、1 12、
13、

14、
15、

16、解：（1）
=480，

（2）
=240

（3）
=480

17：（1）略

（2）h=

18：（1）CE=1

（2）略

（3）

19：h=

20：（1）

（2）

21：[解析]　连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，

∴A1O2＝AA12＋AO2－2AA1·AO·cos60°＝3.∴AO2＋A1O2＝AA12.

∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.

∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A1(0,0，)．

(1)∵＝(－2，0,0)，＝(0,1，)，

∴·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，

∴BD⊥AA1，即异面直线BD和AA1所成的角为90°.

(2)∵OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的法向量n1＝(1,0,0)．

设n2＝(x，y，z)是平面AA1D的一个法向量，则

∴取n2＝(1，，－1)．

∴cos〈n1，n2〉＝＝.

∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是.

(3)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C，

设＝λ，P(x，y，z)，

则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)．

∴P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．

设n3＝(x3，y3，z3)是平面DA1C1的一个法向量，则

∴不妨取n3＝(1,0，－1)．

又∵∥平面DA1C1，∴n3·＝0，

∴－－λ＝0，∴λ＝－1，

即点P在C1C的延长线上，且使C1C＝CP.