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宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试 数学（理）试题 选择题部分 (共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则 （ ） A． B． C． D． 2.已知,若,则下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 3.已知,则“”是“”的 （ ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知是空间中两条不同直线,是两个不同平面,且,给出下列命题： ①若，则； ②若，则; ③若，则； ④若，则 其中正确命题的个数是 （ ）A. 1 B. 2 C．3 D．4 5.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),所得图象关于直线对称,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6.下列四个图中,函数的图象可能是 （ ） 7.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若与双曲线的交点恰为的中点,则双曲线的离心率为 ( ) A． B． C．2 D．3 8.如图所示,为的外接圆圆心,,为钝角,M是边BC的中点,则= （ ） A．21 B．29 C．25 D．40 9.已知定义在R上的函数满足:，,则方程在区间上的所有实根之和为 ( ) A． B． C． D． 10.对数列,如果成立,,则称为阶递归数列．给出下列三个结论： ①若是等比数列,则为1阶递归数列； ②若是等差数列,则为2阶递归数列； ③若数列的通项公式为an=n2,则为3阶递归数列． 其中正确结论的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 非选择题部分 (共100分) 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11.等差数列的前项和为,若, 则的值是 ． 12.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 . 13.过点作圆的两条切线,切点分别为,为坐标原点,则的外接圆方程是 ． 14.设,函数,则的值等于 ． 15.已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为 . 16.如果关于的不等式和的解集分别为和,那么称这两个不 等式为对偶不等式.如果不等式与不等式 为对偶不等式,且,则=_______________. 17.已知不等式组的整数解恰好有两个,求的取值范围是 ． 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数. （I）求函数的最小正周期； （II）在中,若角的值. 19.(本题满分14分)在如图所示的空间几何体中,平面平面,与 均是边长为的等边三角形,,直线和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上． （I）求证:平面； （II）求二面角的余弦值． 20.(本题满分14分)数列是公比为的等比数列,且是与的等比中项,前n项和为;数列是等差数列,=8,其前n项和满足(为常数,且≠1)． （I）求数列的通项公式及的值； （II）比较与的大小． 21.(本题满分15分)函数,当是函数图象上的点时,是函数图象上的点. （I）求函数的解析式；[来源:Z#xx#k.Com] （II）当时,恒有,试确定a的取值范围. 22.(本题满分15分)如图,F1、F2是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右 焦点,直线：x＝－1将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A、B是椭圆C上的两个动点,线段AB的中垂线与椭圆C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l上． （I）求椭圆C的方程； （II）求的取值范围． 命题：宁波中学 贾 俊 审题：慈溪中学 孙波英 宁波市八校联考高二数学（理科）参考答案 18.已知函数. （I）求函数的最小正周期； （II）在中，若的值. ……………14分 （Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接， ∵⊥平面，∴，又， ∴平面，∴， ∴就是二面角的平面角 …………10分 中，， ，． ∴．即二面角的余弦值为．…………14分 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 可知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为 则， 可求得． ……………10分 所以，[来源:学科网] 所以二面角的余弦值为． …………14分 20.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数 列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)． (I)求数列{an}的通项公式及的值； (Ⅱ)比较+++…+与Sn的大小． 21.函数f(x)=loga(x－3a)(a＞0,且a≠1),当点P（x,y)是函数y=f(x)图象上的点时， Q(x－a,－y)是函数y=g(x)图象上的点. （Ⅰ）写出函数y=g(x)的解析式. （Ⅱ）当x∈［a+3,a+4］时，恒有f(x)－g(x)≤1,试确定a的取值范围. 解:（Ⅰ）设P(x0,y0)是y=f(x)图象上点，Q（x,y）,则， ∴ ∴－y=loga(x+a－3a)，∴y=loga (x＞2a) ----------- 5分 令 由得，由题意知，故， 从而，[来源:学科网ZXXK] 故函数在区间上单调递增 ------------------8分 等价于不等式成立， 从而，即，解得． 易知，所以不符合． -----------------------14分 综上可知：的取值范围为． ----------------------------15分 22. (本题满分15分) 如图，F1，F2是离心率为的椭圆 C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－1将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与椭圆C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上． （I）求椭圆C的方程； （II）求的取值范围． (Ⅰ) 设F2(c，0)，则 ＝， 所以 c＝2． 因为离心率e＝， 所以a＝．[来源:Zxxk.Com] 所以椭圆C的方程为[来源:Z|xx|k.Com] ． ………… 6分 (Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－1，此时P(，0)、Q(,0) ． 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－1，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 得 (x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0， 则 －1＋2mk＝0， 故k＝． ………… 8分 此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为 ． 即 ． 联立 消去y，整理得 ． 所以 ，．………… 10分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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