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宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试 数学（文）试题 说明：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。 2．请将答案全部填写在答题卡上。 选择题部分(共50分) 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若a、b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．平面向量与的夹角为，且，，则( ) A. B. C. 2 D. 4. 已知直线，平面，且，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．已知函数,是定义在上的奇函数,当时,,则函数的大致图象为( ) A. B. C． D． 6．数列的首项为1，数列为等比数列，且，若则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的 横坐标缩短到原的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（ ） A． B． C． D． 8. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，若四边形是矩形，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 9．已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 10．已知定义在R上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A． B． C． D． 非选择题部分（共100分） 二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 已知函数则的值是___________ 12. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为_____________ 13. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 __ __ 14．已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为 15．如果关于的不等式和的解集分别为和（），那么称这两个不等式为对偶不等式。如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则=________________ 16.已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的最大值为______________ 17．已知分别是双曲线的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B，则的面积等于_______ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 已知向量，设函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长． 19．（本小题满分14分） 已知数列{}的前n项和 (n为正整数)。 （1）令，求证数列{}是等差数列； （2）求数列{}的通项公式，并求数列的前n项和． 20．(本小题满分14分) 在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 21.(本小题满分15分) 函数,当点是函数图象上的点时，是函数图象上的点. （1）写出函数的解析式; （2）当时，恒有,试确定的取值范围. 22．（本小题满分l5分） 已知抛物线上有一点到焦点的距离为. （1）求及的值. （2）如图，设直线与抛物线交于两点且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由。 命题：慈溪中学 张 岚 审题：宁波中学 陈文雅 非选择题部分 (共100分) 解得：， 所以函数的单调递增区间为 ………7分 （2）由得：, 化简得：, ………9分 又因为，解得： ………10分 由题意知：，解得， ………12分 又,所以 , 故所求边的长为． ……14分 . 又数列是首项和公差均为1的等差数列......................... 7分 . ....................................14分 20．解（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点， 连接，则，， 又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面， 那么，根据题意，点落在上， ……………3分 ∴，易求得， ∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 ……………7分 （Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接， ∵⊥平面，∴，又， ∴平面，∴， ∴就是二面角的平面角 …………10分 中，， ，． ∴．即二面角的余弦值为．…………14分 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 可知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为 则，可求得． ……10分 所以， 所以二面角的余弦值为． …………14分 21.解（Ⅰ）设P(x0,y0)是y=f(x)图象上点，Q（x,y）,则， ∴ ∴－y=loga(x+a－3a)，∴y=loga (x＞2a) ----------- 5分 令 由得，由题意知，故， 从而， 故函数在区间上单调递增 ------------------8分 （1）若，则在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值为． 在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立， 从而，解得或． 结合得． ------------------------------------11分 （2）若，则在区间上单调递增， 所以在区间上的最大值为. 在区间上不等式恒成立， 等价于不等式成立， 从而，即 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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