河北省邢台一中2013-2014学年高二下学期第四次月考

数学理试题

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.集合

则
（ ）

2.复数
的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．有
个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）

A．36种 B．48种 C．72种 D． 96种

4．设
,
，则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．用数学归纳法证明“
时，从 “
到
”时，左边应增添的式子是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6.若
则
的值为（ ）

7．设
，且
恒成立，则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.函数
在
内有极小值，则实数
的取值范围为 （ ）

9.设
则
（ ）

A.
B.
C.
D. 1

10下列判断正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

B．“
”是“
”的必要不充分条件

C．
中，“
”是“
”的充要条件

D．命题“
，使得
”的否定是“
，均有
”

11．函数
的最大值为
，最小值为
N，则（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知定义在R上的函数
满足
设

则
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有_________种．

14. 已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
_____________

15. 已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
的

最小值为______________　　　　　　　 　　

16. 通过观察所给两等式的规律：

①

②

请你写出一个一般性的命题：__________________________

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分10分）

（1）解不等式

(2)
的定义域为
,求
的取值范围.

18.（本小题满分12分）

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设
cm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

19. （本小题满分12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为
，乙、丙应聘成功的概率均为
且三人是否应聘成功是相互独立的。

（1）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求
的值；

（2）记应聘成功的人数为
，若当且仅当
为2时概率最大，求
的取值范围。

20．（本小题满分12分）

设

讨论该函数的单调性；

设
为函数
的极大值，证明：

21.（本小题满分12分）由下列各个不等式：

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.

22．（本小题满分12分）设

（Ⅰ）若
求函数
的极值点及相应的极值；

（Ⅱ）若对任意
恒成立，求实数
的取值范围.

高二理科数学第4次答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

C

B

C

C

C

D

A

C

D

D



二、填空题

13、 18 14、3 15、4 16、

三、解答题

17解：

(1)
,等价于以下三个不等式

…………………………………3分

所以

原不等式的解集为
………………………………………5分

(2)
的定义域为
,即
无解

在
上恒成立, ………………………………………8分

所以m>-8实数
的取值范围
…10分

18.解（1）根据题意有

（0

（2）根据题意有
，-----6分

所以，

当
时，
，

所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.--------------------9分

此时，包装盒的高与底面边长的比值为
.---------11分

即x=20包装盒容积V（cm
）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为
-----12分

20解析：

当
时，

综上
----------12分

21. 【解】根据给出的几个不等式可以猜想第
个不等式，即一般不等式为：

4分

用数学归纳法证明如下：

(1)当n=1 时
,猜想成立.

5分

(2)假设当时
猜想成立，即


6分

则当
时，

10分

这就说明
猜想也成立，由（1）（2）知，猜想对一切
都成立.------12分

22．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）
的极值点为0，相应的极小值为
（过程略）------------4分

（Ⅱ）
设

则

当
时，
则
在
上为增函数，所以
所以
在
上为增函数，
与
恒成立矛盾.

当
时，
，

若
时，
则
在
上为减函数，

所以
所以
在
上为减函数，
满足题意.

若
，即
时，若
，则

则
在
上为增函数，从而有

所以
在
上为增函数，
与
恒成立矛盾.

综上所述，实数
的取值范围.是

12分