（时间：120分钟 满分：150分）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若复数满足
，则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）

A、（2，4） B、（2，－4） C、（4，－2） D、（4，2）

2、若函数
的图象的顶点在第四象限，则函数
的大致图象是（ ）

3、函数
在区间[－1，1]上的最大值是（ ）

A、－2 B、0 C、2 D、4

4、曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）

A、
B、
C、
D、

5、如图是函数
的导函数
的图象，下列说法错误的是（ ）

A、－2是函数
的极小值点

B、1是函数
的极值点

C、
在
处切线的斜率大于零

D、
在区间（－2，2）上单调递增

6、设
，则集合
中元素的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、无数个

7、下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量的性质
类比得到复数的性质
；

③方程
有两个不同实数根的条件是
可以类比得到：方程
有两个不同复数根的条件是
；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比得到的结论错误的是（ ）

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

8、设
则
，
，
（ ）

A、都不大于－2 B、都不小于－2

C、至少有一个不大于－2 D、至少有一个不小于－2

9、如图所示，在A、B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路，则电路不通，今发现A、B之间电路不通，则焊点脱落的不同情况有（ ）

A、9种 B、11种

C、13种 D、15种

10、已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为－，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为 (　　)

A．第三项 B．第四项

C．第五项 D．第五项或第六项

第II卷（非选题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）

11、已知函数
，若函数
在
上有3个零点，则的取值范围为 .

12、曲线
与直线
，
所围成的图形的面积为 .

13、如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同的颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共

有 种。

14、
除以88的余数是 .

15．已知
为定义在(0，+∞)上的可导函数，且
，则不等式
的解集为___________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（12分）已知函数
，

（1）若函数
在
处有极值，求实数
的值；

（2）若函数
在区间[-2，1]上单调递增，求实数
的取值范围。

17、（12分）在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．

18、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）既要有队长，又要有女运动员.

19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为万元．

(1)试写出关于的函数关系式并注明定义域；

(2)当
米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

20、（14分）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列
．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：＋＋…＋＜.

21、（14分）已知函数
。

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求实数的值；

（2）讨论函数
的单调性；

（3）当
时，记函数
的最小值为
，求证：
.

高二阶段性检测数学试题（理科）答案

1、C 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C 7、C 8、C 9、C 10、C

11、[1，8） 12、
13、180 14、1 15、

16、解：

（1）∵
在
处有极值 ∴

即：
解得：
……………………………………6分

（2）由已知得：
在[-2，1]上单调递增

∴
对
恒成立。

由于对称轴

∴
即：
分离参数酌情给分…………………………12分

18、解（1）第一步；选3名男运动员，有
种选法，第二步；选2名女运动员，有
种选法，故共有
种选法.………………………………………………………………………4分

（2）法一：（直接法）：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

由分类加法计数原理知共有
种选法.…………8分

法二：（间接法），不考虑条件，从10人中任选5人，有
种选法，其中全是男运动员的选法有
种，故“至少有1名女运动员”的选法有
（种）.………………………………8分

（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有
种选法；不选女队长时，必选男队长，共有
种选法，其中不含女运动员的选法有
种，故不选女队长时共有
种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有
（种）.……………………………………12分

20、由条件得2bn＝an＋an＋1，

a＝bnbn＋1.

由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.……………………………………………… 4分

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．

即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2，

所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，

bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．………………………………………………8分

(2)证明　＝＜.

n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.

故＋＋…＋

＜＋

＝＋

＝＋＜＋＝.

综上，原不等式成立．………………………………………………………………13分

21、（1）由已知得，
的定义域为
，
.

根据题意，有
，即
，

解得
或
.……………………………………………………4分

（2）
.

（i）当
时，由
及
得
；由
及
得
.

所以当
时，函数
在
上单调递增，在（
）上单调递减.

（ii）当
时，由
及
得
；

由
及
得
.

所以当
时，函数
在（
）上单调递减，在（
）上单调递增.……8分

（3）证明：由（2）知，当
时，函数
的最小值为
，

故
.

，

令
，得
.

当变化时，
，
的变化情况如下表：











+

0

－





↗

极大值

↘



所以
是
在
上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是
的最大值点.

所以当
时，

最大值
，

即当
时，
.……………………………………………………14分