（时间：120分钟 满分：150分）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知复数
，
是的共轭复数，则·
=（ ）

A、
B、
C、1 D、

2、已知命题：
，
；命题：
，
，则下列判断正确的是（ ）

A、
是假命题 B、是假命题 C、
是真命题 D、（
）
是真命题

3、集合
，
，若
，则
=（ ）

A、{0，1，2} B、{0，1，3} C、{0，2，3} D、{1，2，3}

4、已知
是定义在R上的奇函数，对任意
，都有
，若
，则
等于（ ）

A、-2 B、2 C、2013 D、2012

5、设
，i是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6、已知两个非空集合
，
，若
，则实数的取值范围为（ ）

A、（－1，1） B、（－2，2） C、[0，2
D、（－，2）

7、执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的值为（ ）

A、41

B、9

C、14

D、5

8、某产品在某零售摊位上的零售价（单位：元）与每天的销售量（单位：个）的统计资料如下表所示：

16

17

18

19





50

34

41

31



由上表可得回归直线方程
中的
，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（ ）

A、48个 B、49个 C、50个 D、51个

9、为了解疾病A是否与性别有关，在一医院随机地对入院50人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

患疾病A

不患疾病A

合计



男

20

5

25



女

10

15

25



合计

30

20

50



请计算出统计量K2，你有多大的把握认为疾病A与性别有关？

下面的临界值表供参考：

0.05

0.010

0.005

0.001





3.841

6.635

7.879

10.828



 A、95% B、99% C、99.5% D、99.9%

10、已知函数
则
（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）

11、复数
的虚部是 。

12、设A、B为两个非空数集，定义：A+B={
}，若A={0，2，5}，B={1，2，6}，则A+B子集的个数是 。

13、设函数
，
，则
。

14、已知
，
，
，…，若
（
为正整数），则
。

15、定义在R上的偶函数
满足：
，且在[－1，0]上是增函数，下列关于
的判断：①
是周期函数；②
的图象关于直线
对称；③
在[0，1]上是增函数；

④
在[1，2]上是减函数；⑤

其中判断正确的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（12分）已知：函数
在（
）内单调递增，：函数
大于零恒成立，若
为真，
为假，求的取值范围。

17、（12分）已知函数
.

（1）求
的单调递减区间；

（2）若
在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

18、（12分）（1）已知函数
的定义域为R，对任意
，均有
，试证明：函数
是奇函数.

（2）已知函数
是定义在R上的奇函数，满足条件
，试求
的值.

19、（13分）已知
，求证：
不能同时大于
.

20、（13分）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式可以表示为
，已知甲、乙两地相距100千米.

（1）当汽车以40千米/时的速度行驶时，从甲地到乙要耗油多少升？

（2）当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙耗油最少？最少为多少升？

21、（13分）已知函数
(
,为自然对数的底数).

(1)若曲线
在点
处的切线平行于轴,求的值;

(2)求函数
的极值;

(3)当
的值时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.

（1）当真，假时，根据命题与集合之间的对应关系，得真时，
，假时，
或
。

∴真假时，得
.

（2）当假，真时，根据命题与集合之间的对应关系，得假时，
，真时，
.

∴假真时，得
.

综合（1）（2）可得，的取值范围为（1，2）
3，+
. ……………………12分

17、解（1）
.

令
，解得
或
，

所以函数
的单调递减区间为
和
. ……………………6分

（2）因为
，

，所以
.

因为在（－1，3）上
，所以
在[－1，2]上单调递增，

又由于
在[－2，－1]上单调递减，

因此
和
分别是
在区间[－2，2]上的最大值和最小值，

于是有
，解得
. …………………………10分

故
，因此
，

即函数
在区间[－2，2]上的最小值为－7. …………………………………12分

18、（1）证明 已知对任意
均有
，令
，

则
，所以
.

再令
，可得
，

因为
，所以
，

故
是奇函

数. …………………………………………6分

（2）解 因为函数
是定义在R上的奇函数，

所以
.

令
，则有
，即
.

又
，则有

…………12分

19、证明 假设三式同时大于
，即有
，
，
.……………4分

，①

又∵
，

同理
，
.

又∵
，
，
均大于零，

∴
，

这与①式矛盾，故假设不成立，即原命题正确. ………………………………13分

21、解:(Ⅰ)由
,得
.

又曲线
在点
处的切线平行于轴,

得
,即
,解得
. ………………………………………………………4分

(Ⅱ)
,

①当
时,
,
为
上的增函数,所以函数
无极值.

②当
时,令
,得
,
.

,
;
,
.

所以
在
上单调递减,在
上单调递增,

故
在
处取得极小值,且极小值为
,无极大值.

综上,当
时,函数
无极小值;

当
,
在
处取得极小值
,无极大值. ………………………………8分

(Ⅲ)当
时,

令
,

则直线
:
与曲线
没有公共点,

等价于方程
在上没有实数解.

假设
,此时
,
,

又函数
的图象连续不断,由零点存在定理,可知
在上至少有一解,与“方程
在上没有实数解”矛盾,故
.

又
时,
,知方程
在上没有实数解.

所以
的最大值为. ………………………………………………………………………13分

解法二:

(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)当
时,
.

直线
:
与曲线
没有公共点,

等价于关于的方程
在上没有实数解,即关于的方程:

(*)

在上没有实数解.

①当
时,方程 (*)可化为
,在上没有实数解.

②当
时,方程(*)化为
.

令
,则有
.

令
,得
,

当变化时,
的变化情况如下表:





























当
时,
,同时当趋于
时,
趋于
,

从而
的取值范围为
.

所以当