1．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　　)

A．若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误

B．若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么说明吸烟与患肺病相关程度为95%

C．若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

D．若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病

2．从12个产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个．给出下列四个事件：①3个都是正品；②至少有1个是次品；③3个都是次品；④至少有1个是正品，其中为随机事件的是( )

A．①② B．①③ C． ②③ D． ②④

3．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数
如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A． 模型1的
为0．55 B．模型2的
为0．65

C． 模型3的
为0．79 D．模型4的
为0．95

4． “单独二胎”政策的落实是我国完善计划生育基本国策的一项重要措施，事先需要做大量的调研论证．现为了解我市市民对该项措施是否认同,拟从全体市民中抽取部分样本进行调查．调查结果如下表：

调查人数

2

10

70

130

310

700

1500

2000

3000

5000



认同人数

2

9

60

116

286

639

1339

1810

2097

4515



认同频率

1

0．9

0．857

0．892

0．922

0．913

0．893

0．905

0．899

0．903



则根据上表我们可以推断市民认同该项措施的概率最有可能为 （ ）

A．0．80 B．0．85 C．0．90 D．0．92

5．设随机变量
服从正态分布
，若
，则
=（ ）

A．0．2 B．0．3 C．0．4 D． 0．6

6．已知
，则
( )

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

7．4名男生和2 名女生站成一排，则这2名女生不相邻的排法种数（ ）

A．600 B． 480 C． 360 D． 120

8．执行如图所示的程序框图所表达的算法，输出的结果为（ ）

Ａ． 2 Ｂ．1

Ｃ．
Ｄ．

9．一袋中装有6个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现9次停止．设停止时，取球次数为随机变量
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．方程
中的
，且
互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

Ａ．150条 Ｂ．118条 Ｃ．100条 Ｄ．62条

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）

11．在
的展开式中，若第三项和第六项的系数相等，则
　　　　　．

12．已知具有线性相关的两个变量
之间的一组数据如下：

2

3

4

5

6





2．2

3．8

5．5

6．5

7．0





且回归方程是
，则

13．采用系统抽样法，从152人中抽取一个容量为15人的样本，则每人被抽取的可能性为

（请用分数作答）

14．将标号分别为1、2、3、4、5五个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里只放1个小球．则1号球不在红盒内且2号球不在黄盒内的概率是 ．

15．已知实数
满足
，
，则函数
无极值的概率是 ．

三、解答题（本部分共计6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请

在指定区域内作答，否则该题计为零分．）

16．（本小题满分13分）

已知矩阵
．

（I）求
以及满足
的矩阵．

（II）求曲线
:
在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线
的方程．

17．（本小题满分13分）

在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查． 调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．

（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列
列联表；

看电视

运动

合计



女









男









合计









（Ⅱ）已知
．能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“性别与休闲方式有关系” ？

（注：
，（其中
为样本容量））

18．（本小题满分13分）

一个盒中有8件产品中，其中2件不合格品．从这8件产品中抽取2件，试求 ：

（Ⅰ）若采用无放回抽取，求取到的不合格品数
的分布列；

（Ⅱ）若采用有放回抽取，求至少取到1件不合格品的概率．

19．（本小题满分13分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，下列茎叶图的数据是他们在培训期间五次预赛的成绩．已知甲、乙两位学生的平均分相同．

（注：方差
）

（Ⅰ）求以及甲、乙成绩的方差；

（Ⅱ）现由于只有一个参赛名额，请你用统计或概率的知识，分别指出派甲参赛、派乙参赛都可以的理由．

20．（本小题满分14分）

一个社会调查机构为了解某社区居民的月收入情况，从该社区成人居民中抽取10000人进行调查，根据所得信息制作了如图所示的样本频率分布直方图．

（Ⅰ）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，试求其中月收入在[2000，2500）(2000元至2500元之间)的人数；

（Ⅱ）为了估计从该社区任意抽取的3个居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…9的前若干个数字表示月收入在[2000，3000）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）的居民；再以每三个随机数为一组，代表收入的情况．

假设用上述随机模拟方法已产生了表中的20组随机数，请根据这批随机数估计概率的值．

907 966?? 191?? 925?? 271?? 932?? 812?? 458 569 683??

431?? 257? ?393? ?027?? 556?? 488 730? ?113?? 537? ?989

（Ⅲ）任意抽取该社区的5位居民，用
表示月收入在[2000，3000）（元）的人数，求
的数学期望与方差．

21．（本小题满分14分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取
件产品作为样本．经统计，得到下列关于产品重量的样本频数分布表：

甲流水线

产品重量（单位：克）

频数



（490,495]

2



（495,500]

12



（500,505]

18



（505,510]

6



(510,515]

2



乙流水线

产品重量（单位：克）

频数



（490,495]

6



（495,500]

8



（500,505]

14



（505,510]

8



（510,515]

4





已知产品的重量合格标准为：重量值（单位：克）落在
内的产品为合格品；否则为不合格品．

（Ⅰ) 从甲流水线样本的合格品中任意取2件，求重量值落在
的产品件数
的分布列；

（Ⅱ）从乙流水线中任取2件产品，试根据样本估计总体的思想，求其中合格品的件数的数学期望；

（Ⅲ）从甲、乙流水线中各取2件产品，用
表示“甲流水线合格品数与乙流水线合格品数的差的绝对值”，并用表示事件“关于的一元二次方程
没有实数解”． 试根据样本估计总体的思想，求事件的概率．

南安一中2013～2014学年度下学期期中考

高二数学（理科）参考答案

一、选择题

1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．D 9．C 10．B

二、填空题

11： 7； 12： 0．08； 13：
； 14：0．65（或
）； 15：

三、解答题

16．解：（I）
，………4分

．………7分

（II）矩阵B所对应的线性变换为
，………9分

代入
得：
………12分

即所求曲线
的方程为：
………13分

17．解：（Ⅰ）根据题目所提供的调查结果,可得下列
列联表：

看电视

运动

合计



女

30

25

55



男

20

35

55



合计

50

60

110



…………6分

（Ⅱ）根据列联表中的数据，可计算
的观测值
：

， …………10分

∵
，

所以不能在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．

…………13分

18．解：（Ⅰ）取到的不合格品数
的可能取值为0，1，2…………2分

；

；

；

所以取到的不合格品数
的分布列为：

0

1

2















…………7分

（Ⅱ）设事件为“至少取到1件不合格品”，则对立事件
为“没有不合格品”，即“2件都是正品”，

，………9分

答：至少取到1件次品的概率
…………13分

19．解：（I）因为
，…………1分

所以
，

所以
．…………………2分

甲成绩的方差:
，

……………………4分

乙成绩的方差:
，

……………………6分

（II）（1）选派甲参赛的理由：

甲乙平均分相同；又甲的方差为
，乙的方差为
，

甲乙平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故可派甲参赛．……………9分

（2）选派乙参赛的理由：

甲获得82分以上（含82分）的概率
；

乙获得82分以上（含82分）的概率
；

因为
，故可派乙参赛．……………13分

20．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，2500）的频率为0．0002×500=0．1，所以应抽取的人数为0．1×100=10人…………3分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为0．0002×500＋0．0006×500=0．4 …………5分

所以可以用数字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民，数字4，5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）的居民；………… 7分

观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）的有191，271，932，812，431，393，027，730，共有8个．

而基本事件一共有20个，根据古典概型的定义可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）的概率为
．………… 10分

（Ⅲ）由频率分布直方图可知，任意抽取该社区1位居民，月收入在[2000，3000）（元）的概率为0．4，

所以随机变量
服从
，所以
，

…………14分

21．解：（Ⅰ）频数分布表知，甲样本中合格品数为
，其中重量值落在
的产品为
件．

∴
的可能取值为
， ………………1分

且
． ………………3分

；
，
．

0

1

2













∴
的分布列为:

…………………………5分

（Ⅱ）由频数分布表知，乙样本中合格品数为
件，

∴若从乙样本中任取一件产品，该产品为合格品的概率
． ……………6分

根据样本估计总体的思想，可估计从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率
． ……………7分

∵从乙流水线上所取的2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，

∴合格品的件数
． ……………8分

∴
，即合格品的件数的数学期望为
． ……………9分

（Ⅲ）由方程
没有实数解，得
，

解得
，
． ……………10分

记“从甲流水线中任取件产品，其中合格品的件数”为，“从乙流水线中任取件产品，其中合格品的件数”为，则
．

∵与都有
三种可能的取值，

∴事件（即
）包含四种情况：
或
或
或
． ………11分

由（Ⅱ）知，从乙流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率
．

仿（Ⅱ）的做法，可知从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率
．

∵从同一条流水线上所取的2件产品互不影响，不同流水线上的取法之间也互不影响，

……………12分

所以事件的概率
． ……………14分