海淀区高二年级第二学期期中练习

数学（理科）

参考答案及评分标准 2014．04

选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

B

C

C

D

C

B

B

A



（8）讲评提示：考察函数
.

二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

（9）
（10）
（11）
（12）

（13）
，
（注：每空2分）

（14）
（注：回答出
给4分；答案为
或
或
给3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分10分）

证明：（Ⅰ）连接
交
于点
，连接
.

在矩形
中，
.

因为
，

所以
∥
. ………………………2分

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
. ………………………5分

（Ⅱ）在矩形
中，
.

因为
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………………8分

因为
平面
，

所以
.

即
是直角三角形. ………………………10分

（16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）因为
，

所以
. ………………………2分

因为 函数
的一个极值点是1,

所以
.

解得：
. ………………………4分

经检验，
满足题意.

所以
.

所以曲线
在点
处的切线方程是
，即
.

………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
.

令
，得
. ………………………7分

当在
上变化时，
的变化情况如下表





















-



+



-









↘



↗



↘





 ………………………10分

所以 函数
在
上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
，
，

所以
． ………………………2分

令
，得
．

当变化时，
和
的变化情况如下：





















↗



↘



故
的单调递减区间为
；单调递增区间为
． ………………………5分

（Ⅱ）因为
，

所以
. ………………………6分

令
，得
．

当变化时，
和
的变化情况如下：





















↘



↗



即
的单调递增区间为
；单调递减区间为
． ………………………8分

所以
的最小值为
.

①当
，即
时，函数
不存在零点.

②当
，即
时，函数
有一个零点. ………………………10分

③当
，即
时，
， 下证：
.

令
，则
.

解
得
.

当
时，
，所以 函数
在
上是增函数.

取
，得：
.

所以
.

结合函数
的单调性可知，此时函数
有两个零点.

综上，当
时，函数
不存在零点；当
时，函数
有一个零点；当
时，函数
有两个零点. ………………………12分

（18）（本小题满分11分）

（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段
与线段
不垂直；

（2）不是，因为线段
与线段
不垂直. ………………………2分

（Ⅱ）命题“对任意
且
总存在一条折线
有共轭折线”是真命题.理由如下：

当为奇数时，不妨令
，取折线
.其中
，满足

.则折线的共轭折线为折线关于轴对称的折线.如图所示.

当为偶数时，不妨令
，取折线
.其中
，满足
.折线的共轭折线为折线
.其中
满足

.如图所示. ………………………7分

注：本题答案不唯一.

（Ⅲ）证明：假设折线
是题设中折线
的一条共轭折线（其中
，
），设
(
)，显然
为整数.

则由
，

得：

由①②③式得

这与⑤式矛盾，因此，折线
无共轭折线. ………………………11分

注：对于其它正确解法，相应给分.