海淀区高二年级第二学期期中练习

数学（文科）

参考答案及评分标准 2014．04

选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

C

D

D

A

D

A

C

A



二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

（9）
（10）
（11）
（12）
（13）66 （14）
，2014

注：（12）若填
给1分；（14）题每空2分.

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分10分）

证明：（Ⅰ）连接
交
于点
，连接
.

在矩形
中，
.

因为
，

所以
∥
. ………………………2分

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
. ………………………5分

（Ⅱ）在矩形
中，
.

因为
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………………8分

因为
平面
，

所以
. ………………………10分

（16）（本小题满分10分）

证明：充分性：假设方程
至少有一个整数根
.

则
. ………………………2分

若
是奇数，因为
均为奇数，所以
为奇数，不可能为0，矛盾；

………………………4分

若
是偶数，因为
均为奇数，所以
为奇数，不可能为0，矛盾.

所以 方程
无整数根.

所以 “
均为奇数”是“方程
无整数根”的充分条件. ……………………6分

不必要性：令
，方程
即
显然无整数根，但此时为偶数.

所以 “
均为奇数”是“方程
无整数根”的不必要条件.

综上所述，“
均为奇数”是“方程
无整数根”的充分而不必要条件.

………………………10分

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）如图所示. ………………………2分

（Ⅱ）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是
，
，

所以 直线的方程是：
，即
. …………………5分

（Ⅲ）由题意可设直线的方程为
. ………………………6分

则维修费用的每一个观察值与直线上对应点的纵坐标的差的绝对值之和

………………………9分

因为 函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，所以 当
时，
取得最小值
，此时直线的方程是
.………………………12分

（18）（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段
与线段
不垂直；

（2）是，符合定义. ………………………2分

（Ⅱ）命题“对任意
且
总存在一条折线
有共轭折线”是真命题.理由如下：

当为奇数时，不妨令
，取折线
.其中
，满足
.则折线的共轭折线为折线关于轴对称的折线.如图所示.

当为偶数时，不妨令
，取折线
.其中
，满足
.折线的共轭折线为折线
.其中
满足

.如图所示. ………………………7分

注：本题答案不唯一.

（Ⅲ）证明：假设折线
是题设中折线
的一条共轭折线（其中
，
），设
(
)，显然
为整数.

则由
，

得：

由①②③式得

这与⑤式矛盾，因此，折线
无共轭折线. ………………………12分

注：对于其它正确解法，相应给分.