命题人：顾晏辉

（考试时间120分钟，满分160分）

一：填空题（本大题共14大题，每小题5分，共70分）

1．已知集合A＝，则集合A∩R＋（R
表示大于0的实数）的

子集个数为____________．

2．高二某班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量

为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．

3．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，
＝－＋i，则a＝________________.

4．已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题_________________．

5．已知
是复数，定义复数的一种运算“
”为：z

=
，

若
且
，则复数

6. 已知二阶矩阵M满足M ＝，M ＝，则M
＝________.

7．设复数z满足：(2－＋i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且

|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|= .

8. 命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>b>0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长定值为________．

9．阅读第9题的程序框图，输出结果s的值为 .

#。Com]

10．阅读第10题的程序框图，设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S－Ti，z2＝1＋i，z＝z1·z2，则|z|= .

11．已知
，则最小正整数n= .

12．正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如右图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是__________．

13.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示．

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12



x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

y5

x6

y6



按如此规律下去，请归纳，则a
＋a
＋a
等于 .

14．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．

二：解答题（本大题共6大题，共90分）

15：.已知复数
满足
，
的虚部为2.

（1）求
；

（2）设
在复平面对应的点分别为
，求
的面积.

16：已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；

(3)求直线l：2x－4y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

17：已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.

18：先阅读下列框图，再解答有关问题：

(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？

(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；

②输出S的结果是什么？写出求S的过程．

19：对于任意的复数z＝x＋yi(x、y∈R)，定义运算P(z)＝x2[cos(yπ)＋isin(yπ)]．

(1)集合A＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x、y均为整数}，试用列举法写出集合A；

(2)若z＝2＋yi(y∈R)，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；

(3)直线l：y＝x－9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数z＝x＋yi经运算P后，P(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．

20：在正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立，

(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；

(2)归纳猜想an与的大小，并证明你的结论．

江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试

数学（理）答案

一：填空题

1． 8 2．17 3．－2

4．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线－＝1(m>n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝.

5．
6.  7．|z|＝－1或＋1. 8. 内角平分线　a

9．。Com]10． 11． 3 12．a2 13. 1007 14．7

二：解答题（本大题共6大题，共90分）

15：.已知复数
满足
，
的虚部为2.

（1）求
；

（2）设
在复平面对应的点分别为
，求
的面积.

解答：（1）设
.

由题意得

∴

化简得
将其代入（2）得
，∴
.

故
或
故
或
.

（2）当
时，
，
.

所以
∴
.

当
时，
，
.

. ∴
.

16：已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；

(3)求直线l：2x－4y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

解　(1)设M＝，则＝8＝，故

＝，故

联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.

(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为

f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.

(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，

则＝，

即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.

17：已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.

解：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，

又a＋b<0，∴ c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b),

ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab, 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2.

∵ a2>0，ab>0，b2>0，∴ －a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，

这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，假设不成立． 因此a>0，b>0，c>0成立．

18：先阅读下列框图，再解答有关问题：

(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？

(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．

[解析]　(1)当n＝1时，a＝；当n＝2时，a＝；当n＝3时，a＝.

(2)(方法一)当输入n时，①中输出结果为an，②中输出结果为Sn，则

a1＝，an＝an－1(n≥2)，所以＝(n≥2)

所以an＝···a1＝··…·＝·＝.

(方法二)由a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，猜想an＝.

证明：(1)当n＝1时，结论成立，(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＝，

则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＝·＝＝.

所以当n＝k＋1时，结论成立，故对n∈N*，都有an＝成立．

因为an＝＝＝(－)，

所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－)＝.

19：对于任意的复数z＝x＋yi(x、y∈R)，定义运算P(z)＝x2[cos(yπ)＋isin(yπ)]．

(1)集合A＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x、y均为整数}，试用列举法写出集合A；

(2)若z＝2＋yi(y∈R)，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；

(3)直线l：y＝x－9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数z＝x＋yi经运算P后，P(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．

[解析]　(1)?x2＋y2≤1，

由于x，y∈Z，得

∴P(±1)＝1，P(±i)＝0，P(0)＝0， ∴A＝{0,1}．

(2)若z＝2＋yi(y∈R)，则P(z)＝4[cos(yπ)＋isin(yπ)]．若P(z)为纯虚数，则

∴y＝k＋，k∈Z， ∴|z|＝＝，k∈Z，

当k＝0或－1时，|z|min＝.

(3)P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ)，x2sin(yπ))，由题意得

∴x2sin(xπ－9π)＝x2cos(xπ－9π)－9，∴x2sinxπ＝x2cosxπ＋9.

∵x∈Z，∴①当x＝2k，k∈Z时，得x2＋9＝0不成立；

②当x＝2k＋1，k∈Z时，得x2－9＝0，∴x＝±3成立．

此时或即z＝3－6i或z＝－3－12i.

20：在正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立，

(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；

(2)归纳猜想an与的大小，并证明你的结论．

(1)证明　由a≤an－an＋1得an＋1≤an－a

∵在数列{an}中an＞0，∴an＋1＞0，∴an－a＞0，∴0＜an＜1

故数列{an}中的任意一项都小于1.

(2)解　由(1)知0＜an＜1＝，那么a2≤a1－a＝－2＋≤＜，

由此猜想：an＜(n≥2)．

下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，显然成立；

②当n＝k时(k≥2，k∈N*)时，假设猜想正确，即ak＜≤，

那么ak＋1≤ak－a＝－2＋＜－2＋＝－＝＜＝，

∴当n＝k＋1时，猜想也正确

综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜.