时间：120分钟 满分：150分 命题人：力希日 审题人：孙守宦

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题: （本大题共12小题 ，每小题5分 ，共60分 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、复数z=3-4i, ,则
= （ ）

A．3 B．4 C．1 D．5

2、 如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为

A．
B．2 C．
D．

3．用数学归纳法证明
不等式“

”时的过程中，由
到
时，不等式的左边（ ）

A.增加了一项

B.增加了两项

C.增加了两项
，又减少了
；

D.增加了一项
，又减少了一项
；

4. 设
是函数
的导函数,
的图象如右图所示，则
的图象最有可能的是( )

5. 求曲线
与直线x=0,x=2和x轴所围成的封闭图形的面积，其中正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

6、设m
是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=（ ）

A．1或-2 B．-2 C．-1或2 D． 1

7．若点
和点
分别为椭圆
的中心和左焦点，点
为椭圆上的任意一点，

则
的取值范围为（ ）

8. 设
则
（ ）

A．都不大于
B．都不小于

C．至少有一个不大于

D．至少有一个不小于

9、若函数
满足
=-3，则
( )

A．-3 B．-6 C．-9 D．-12

10．对于函数
，给出下列四个命题：①
是增函数，无极值；②
是减函数，有
极值；③
在区间
及
上是增函数；

④
有极大值为
，极小值
；其中正确命题的个数为（ ）

A.
B.

C.
D.

11、右图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），

则该几何体的表面积是(　)

A.
20+3( B. 24
+3( C. 20+4( D. 24+4(

12、给出定义：若函数
在D上可导，即
存在，且导函数
在D上也可导，则称
在D上存在二阶导函数，记
，若

0在D上恒成立，则称
在D上为凹函数，以下四个函数在
上是凹函数的是 ( )

A .
B .

C .

D .f(x)=

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、若曲线
在
处的切线与直线
互相垂直，则实数
等于_____
____

14. 求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程___________

15、用火柴棒按下图的方法搭三角

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数
与所搭三角形的个数
之间的关系式可以是

16、若曲线
上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数
的取值范围是 .

三
、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17、（本小题10分）设
，
（其中
，且
）．

（1）
请你推测
能否用
来表示；

（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

（本题12分）

已知数列
…,
…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。

19、（本题12分）已知函数f(x)=ax3-
x2+b (
)

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8，求a,b的值；

（Ⅱ）若a>0,b=2求当
时，函数y=f(x)的最小值。

20、（本题12分）已知函数f(x)
=
在x=-1与x=2处都取得极值

（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+
c＜c2恒成立，求c的取
值范围．

21、（本题满分12分）

如图，S(1，1)是抛物线为
上的一点，弦SC、SD分别交
轴于A、B两点，且SA=SB。

（1）求证：直线CD的斜率为定值；

（2）延长DC交
轴于点E，若
，

求
的值。

22、（本题满分12分）

已知函数
（
），其中
．

（Ⅰ）若函数
仅在
处有极值，求
的取值范围；

（Ⅱ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．[来源:Z|xx|k.Com]

（2）假设当n=k(k
)时猜想成立，即

那么，

=
=

=
=

所以，当n=k+1时猜想也成立。根据（1）和（2），可知猜想对任何n
都成立。

19、解（1）
=3ax2-3x,
得a=1

由切线方程为y=6x-8 得f(2)=4;

又f(2)=8a-6+b=b+2, 所以b=2,

所以a=1,b=2.

(2) f(x)=ax3-
x2+2则

=3ax2-3x=3x
(ax-1),令
=0，得x=0或x=
分以下两种情况讨论：

①若
即0

x

(-1,0)

0

(0,1)





+

0

-



f(x)



极大值





 f(-1)=-a-
+2,f(1)=a-
+2,所以

f(x)min=f(-1)=
-a

②若
当x变化时，
，f(x)的变化情况如下表

x

(-1,0)[来源:Zxxk.Com]

0

(0,
)



（
，1）





+

0

-

0

+



f(x)



极大值



极小值





 f(-1)=
-a,f(
)=2-

而f(

)-f(-1)=2-
=

所以f(x)
min=f(-1)=

综合①②，f(x)min=f(-1)=
[来源:学科网]

2



22、（12分）(1)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根.

为使f(x)仅在x＝0处有极值，[来源:学_科_网Z_X_X_K]

必须4x2＋3ax＋4≥0，

即有Δ＝9a2－64≤0.

解此不等式，得－≤a≤.

这时，f(0)＝b是唯一极值.因此满足条件的a的取值范围是. －≤a≤.

(2)由条件
，可知Δ＝9a2－64＜0，从而4x2＋3ax＋4＞0恒成立.

当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.

因此函数f(x
)在上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者.

为使对任意的
，不等式f(x)≤1在上恒成立，当且仅当

即
在
上恒成立.

所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4].

[来源:Zxxk.Com]