四川省成都石室中学高2013-2014学年高二三月月考数学理科试题

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.椭圆
的焦点坐标为 （ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2.若直线
与直线
平行，则
的值为（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3.以椭圆
的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 （ A ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知圆
，从点
发出的光线，经
轴反射后恰好经过圆心
，则入射光线的斜率为（ C ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5.已知点
和
在直线
的两侧，则
的取值范围是（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）不确定

6.若过点
的直线
与曲线
有公共点，则直线
斜率的取值范围为(C)

（A）[－，] （B）(－，)（C） （D）

7.若圆
上的点到直线
的最近距离等于１，则半径
的值为( A )

（A）
（B）
（C）
（D）

8.双曲线
的两焦点分别为
、
，以
为直径的圆与双曲线的一个交点为
，若
的面积为
，则点
到
轴的距离为（ C ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．过平面区域
内一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，

记
，则当
最小时
的值为( C )

（A）
（B）
（C）
（D）

10.椭圆C：
的左右焦点分别为
，若椭圆C上恰好有6个不同的点
，使得
为等腰三角形，则椭圆C的离心率取值范围是（ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

填空题（每小题5分，共计25分，把答案填在题后的横线上）

11．双曲线
的渐近线方程为
.

12．中心在坐标原点，焦点在
轴上，长轴长为
，离心率为
的椭圆方程是

13.已知椭圆
:
，过点

的直线与椭圆
交于
、
两点，若点
恰为线段
的中点，则直线
的方程为

14.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|值为___
_____．

15．已知点
、
，动点
满足
.给出以下命题：

①当
时，动点
的轨迹方程为
；

②若
为定值，则点
的轨迹是以
为圆心、
为半径的一段圆弧；

③若
，则动点
的轨迹方程为
；

④若动点
恰在椭圆
上，则
的面积为
.

其中，正确说法的番号为 ① ④

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）已知直线
经过点
.

（Ⅰ）若直线
的方向向量为
，求直线
的方程；

（Ⅱ）若直线
在两坐标轴上的截距相等，求此时直线
的方程.

解：（Ⅰ）由
的方向向量为
，得斜率为
，

所以直线
的方程为：
（6分）

（Ⅱ）当直线
在两坐标轴上的截距为0时，直线
的方程为
；（9分）

当直线
在两坐标轴上的截距不为0时，设为
代入点
得直线
的方程为
.（12分）

17．（本题满分12分）已知椭圆
，左右焦点为
,直线
斜率为
且过椭圆的右焦点
，交椭圆于
两点.

（Ⅰ）求弦
的长;（Ⅱ）若点
,求
的面积.

解：（Ⅰ）直线
的方程为
，代入椭圆方程

得
，（3分）

由弦长公式得
（6分）

（Ⅱ）点
到直线
：
的距离为
,（9分）

（12分）

18．（本题满分12分）若过点
的直线
与圆
相交于两点
,且
(其中
为圆心).

（Ⅰ）求直线
的方程,

（Ⅱ）求经过点
的圆中面积最小的圆的方程.

解：（Ⅰ）圆
,点
，

设直线
：
，所以
或
（6分）

所以
：
或
（8分）

（Ⅱ）以
为直径面积最小，方程为
（12分）

19．（本题满分12分）已知动圆
(
)

（Ⅰ）当
时，求经过原点且与圆
相切的直线
的方程；

（Ⅱ）若圆
恰在圆
的内部，求实数
的取值范围.

解：（Ⅰ）

当直线
的斜率不存在时，
方程为
,（3分）

当直线
的斜率存在时,设
方程为
，由题意得

所以
方程为
（6分）

（Ⅱ）
,由题意得
，

得
（9分）

当
时，解得
，

当
时，解得
（12分）

20．（本小题13分）

已知椭圆
经过点
，离心率
，直线
与椭圆交于
，
两点，向量

，

，且
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线
过椭圆的焦点
（
为半焦距）时，求直线
的斜率
.

解：（Ⅰ）∵
∴

∴椭圆的方程为
（5分）

（Ⅱ）依题意，设
的方程为
,

由
显然
,（8分）

, 由已知

得：

（12分）

,解得
（13分）

21.（本小题14分）已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆在
轴正半轴上的焦点，
、
两点在椭圆
上，且
，定点
.

（I）求证：当
时
；

（II）若当
时有
，求椭圆
的方程；

（III）在（II）的椭圆中，当
、
两点在椭圆
上运动时，试判断
是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时
、
两点所在直线方程，若不存在，给出理由.

解：（I）设
，则
，

当
时，
，

由M，N两点在椭圆上，

若
，则
舍，

（3分）

（II）当
时，不妨设

又
，

，椭圆C的方程为
（8分）

（III）
，

设直线MN的方程为

联立
，得
，（10分）

记
，

则
（11分）

，当
，即
时取等号 ．

并且，当k=0时
，

当k不存在时

综上
有最大值，最大值为

此时，直线的MN方程为
，或
（14分）