四川省成都石室中学高2013-2014学年高二三月月考数学文科试题

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.椭圆
的焦点坐标为 （ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2.设
是椭圆
上的点，若
、
是椭圆的两个焦点，若
，则
等于(　B　)．

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10

3.若直线
与直线
平行，则
的值为（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知圆
，从点
发出的光线，经
轴反射后恰好经过圆心
，则入射光线的斜率为（C）

（A）
（B）
（C）
（D）

5.已知点
和
在直线
的两侧，则
的取值范围是（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）不确定

6.若过点
的直线
与曲线
有公共点，则直线
斜率的取值范围为(C)

（A）[－，] （B）(－，)（C） （D）

7.若圆
上的点到直线
的最近距离等于１，则半径
的值为( A )

（A）
（B）
（C）
（D）

8.设
是椭圆
上一点，
是椭圆的两个焦点，

（ A ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．椭圆

的焦点为
，两直线
与
轴的交点分别为
，若
≤
，则该椭圆离心率的取值范围是 （ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 过平面区域
内一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，

记
，则当
最小时
的值为( C )

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

填空题（每小题5分，共计25分，把答案填在题后的横线上）

11．中心在坐标原点，焦点在
轴上，长轴长为
，离心率为
的椭圆方程是

12.直线
恒过定点

13.已知椭圆
:
，过点

的直线与椭圆
交于
、
两点，若点
恰为线段
的中点，则直线
的方程为

14. 圆
:
关于直线
对称的圆的方程为

15.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|值为___
_____．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）已知直线
经过点
.

（Ⅰ）若直线
的方向向量为
，求直线
的方程；

（Ⅱ）若直线
在两坐标轴上的截距相等，求此时直线
的方程.

解：（Ⅰ）由
的方向向量为
，得斜率为
，

所以直线
的方程为：
（6分）

（Ⅱ）当直线
在两坐标轴上的截距为0时，直线
的方程为
；（9分）

当直线
在两坐标轴上的截距不为0时，设为
代入点
得直线
的方程为
.（12分）

17．（本题满分12分）已知椭圆
，左右焦点为
,直线
斜率为
且过椭圆的右焦点
，交椭圆于
两点.

（Ⅰ）求弦
的长;（Ⅱ）若点
,求
的面积.

解：（Ⅰ）直线
的方程为
，代入椭圆方程

得
，（3分）

由弦长公式得
（6分）

（Ⅱ）点
到直线
：
的距离为
,（9分）

（12分）

18．（本题满分12分）若过点
的直线
与圆
相交于两点
,且
(其中
为圆心).

（Ⅰ）求直线
的方程,

（Ⅱ）求经过点
的圆中面积最小的圆的方程.

解：（Ⅰ）圆
,点
，

设直线
：
，所以
或
（6分）

所以
：
或
（8分）

（Ⅱ）以
为直径面积最小，方程为
（12分）

19．（本题满分12分）已知动圆
（
）

（Ⅰ）当
时，求经过原点且与圆
相切的直线
的方程；

（Ⅱ）若圆
与圆
内切，求实数
的值.

解：（Ⅰ）

当直线
的斜率不存在时，
方程为
,（3分）

当直线
的斜率存在时,设
方程为
，由题意得

所以
方程为
（6分）

（Ⅱ）
,由题意得
，（9分）

两边平方解得
（12分）

20．（本小题13分）

已知椭圆
经过点
，离心率
，直线
与椭圆交于
，
两点，向量

，

，且
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线
过椭圆的焦点
（
为半焦距）时，求直线
的斜率
.

解：（Ⅰ）∵
∴

∴椭圆的方程为
（5分）

（Ⅱ）依题意，设
的方程为
,

由
显然
,（8分）

, 由已知

得：

（12分）

,解得
（13分）

21.（本小题14分）已知椭圆G：＋y2＝1.过
轴上的动点
(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆G上的点到直线
的最大距离;

（Ⅱ）①当实数
时,求A，B两点坐标;

②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

解　（Ⅰ）设直线
，带入椭圆方程＋y2＝1得，

得
，（4分）

由图形得直线
与直线
的距离为椭圆G上的点到直线
的最大距离为
（6分）

（Ⅱ）①由题意知，|m|≥1.

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，，此时|AB|＝.（8分）

当m＝－1时，同理可得|AB|＝.（9分）

②当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．

由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. （10分）

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

x1＋x2＝，x1x2＝.

又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.（11分）

所以|AB|＝＝

＝＝.（12分）

由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

因为|AB|＝＝≤2，（13分）

且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2. （14分）