中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）答案

一、选择题：ADCB BADB

二、填空题：9．162； 10．
； 11．8； 12．②④； 13．5； 14．②④.

三、解答题：

15．解：（1）
中，
. ………………………………（2分）

中，
. ………………………………（4分）

的面积为

. ………（6分）

（2）
中，

………（9分）

=

=
…………………………………（11分）

=

=
. ……………………………………………………（13分）

16．解：（1）因为数列
的公差
，且
成等比数列，

所以
， ………………………………（3分）

即
，解得
或
. ……………………………（6分）

（2）因为数列
的公差
，且
,

所以
， ………………………………（9分）

即
，解得
. ………………………（13分）

17．解：设每天食用kg食物A， kg食物B，总花费为元，则目标函数为
，且
满足约束条件

， …………………………………………………………（3分）

整理为
，……（5分）

作出约束条件所表示的可行域，

如右图所示. ………（7分）

将目标函数
变形为
. 如图，作直线
，当直线
平移经过可行域，在过点M处时，轴上截距
最小，即此时有最小值. ……（9分）

解方程组
，得点M的坐标为
. …………………………………………………………………（11分）

∴
……………………………………………（12分）

∴ 每天需要同时食用食物A约
kg （或0.143 kg），食物B约
kg（或0.571 kg），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（13分）

18. 解：（1）以为原点,
、
、
分别为、、轴建立空间直角坐标系.

则有
、
、
、
……………………（2分）

………（4分）

<
>
………………………（6分）

所以异面直线
与
所成角的余弦为
. ……………（7分）

（2）设平面
的法向量为
则

由

由
……………………………………（9分）

取
， …………………………………………（10分）

<
>
， …………………………………（12分）

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. …………………（13分）

19．解：（1）抛物线
的方程化为
，所以
，
. ………（2分）

∴ 抛物线C的焦点坐标为
. ………………………………………（4分）

（2）联立方程组
，解得点A坐标为
. ……………………（6分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ……………………（7分）

所以直线AB的方程为
， ……………………（8分）

令
，解得
.

∴ 点M的坐标为
. ……………………………………………（9分）

（3）结论：过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点
. ……………………………（10分）

证明如下：

设过抛物线
的顶点的一条直线为
（
），则另一条为

联立方程组
，解得点A坐标为
. …………………………（11分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ……………………………（12分）

所以直线AB的方程为
， …………………………（13分）

令
，解得
.

∴ 直线AB恒过定点
. ………………………………………………………（14分）

20. 解：（1）由
，得
. …………………（1分）

令
，得
. ………………………………………………（2分）

与
随x的变化情况如下:

……………………………………………………（4分）

所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
是
的最小值. ………………………………………………………（5分）

（2）因为曲线
在点
处与直线
相切，

所以
，
， ……………………………（7分）

解得
，
. ………………………………………………（9分）

（3）当
时，曲线
与直线
最多只有一个交点；

当
时，
>
，
，

所以存在
，
，使得
. ………（12分）

由于函数
在区间
和
上均单调，所以当
时曲线
与直线
有且只有两个不同交点. ………………………………（13分）

综上可知，如果曲线
与直线
有且只有两个不同交点,那么的取值范围是
. ……………………………………………………（14分）