中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷（文科）答案

一、选择题：ADACB CBACD

二、填空题：11. 162； 12.
； 13. 8； 14. ②④.

三、解答题：

15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴
=3x2－6x
，……………………………（3分）

当
时，
；当
时，
. …………………………………（6分）

∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）

（2）由
=3x2-6x >0，解得x<0或x>2， …………………………………………（11分）

∴ 递增区间是
，
. ………………………………………………（13分）

16. 解：（1）
中，
. ………………………………（2分）

中，
. ………………………………………………（4分）

∴
的面积为

. ………………（6分）

（2）
中，

……………（9分）

=

=
………………………………………………（11分）

=

=
. ……………………………………………………………………（13分）

17. 解：（1）因为数列
的公差
，且
成等比数列，

所以
， …………………………………………（3分）

即
，解得
或
. ………………………………………（6分）

（2）因为数列
的公差
，且
,

所以
， …………………………………………（9分）

即
，解得
. ………………………………（13分）

18. 解：设每天食用kg食物A， kg食物B，总花费为元，则目标函数为
，且
满足约束条件

， ………（3分）

整理为
， ………（5分）

作出约束条件所表示的可行域，

如右图所示. ………………（7分）

将目标函数
变形为

. 如图，作直线
，当直线
平移经过可行域，在过点M处时，轴上截距
最小，即此时有最小值. ………………………………（9分）

解方程组
，得点M的坐标为
. ……………………（12分）

∴ 每天需要同时食用食物A约
kg，食物B约
kg. ……………………（13分）

19. 解：（1）由
，得
. …………………（2分）

令
，得
. ………………………………………………………………（4分）

与
随x的变化情况如下:

……………………………………………………（6分）

所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
是
的最小值. ……………………………………………………………………………………（7分）

（2）因为曲线
在点
处与直线
相切，

所以
，
， ……………………………………（10分）

解得
，
. ……………………………………………………………（14分）

20. 解：（1）抛物线
的方程化为
，所以
，
. ………（2分）

∴ 抛物线C的焦点坐标为
. ……………………………………………………（4分）

（2）联立方程组
，解得点A坐标为
. ………………………………（6分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ……………………………………（7分）

所以直线AB的方程为
， ……………………………………（8分）

令
，解得
. ∴ 点M的坐标为
. …………………………………（9分）

（3）结论：过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点
. ………………………………………（10分）

证明如下：

设过抛物线
的顶点的一条直线为
（
），则另一条为

联立方程组
，解得点A坐标为
. ………………………………（11分）

联立方程组
，解得点B坐标为
. ………………………………（12分）

所以直线AB的方程为
， ………………………………（13分）

令
，解得
. ∴ 直线AB恒过定点
. ………………………………（14分）