北京市东城区（南片）2013—2014学年上学期高二期末考试

数学试卷（理科）

（考试时间120分钟 满分100分）

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 命题p︰x＝0，命题q︰xy＝0，则p与q的推出关系是

A.
B.
C.
D.

2. 在边长为2的正方形ABCD内随机取一点E，则点E满足AE＜2的概率为

A.
B.
C.
D.

3. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是线段A1C1上一动点，那么直线CE恒垂直于

A. AC B. BD C. A1D D. A1D1

4. 如图所示，程序框图的输出结果为

A.
B.
C.
D.

5. 一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是

A. 2s2 B. 4s2 C. 8s2 D. 16s2

6. 用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 平面
平面
的一个充分条件是

A. 存在一条直线
，
且

B. 存在一个平面，∥且∥

C. 存在一个平面，⊥且⊥

D. 存在一条直线
，
且
∥

8. 设
是椭圆
上一动点，
是椭圆的两个焦点，则
的最大值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 16

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）

9. 某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为 。

10. 下列命题中，真命题的是 。

①必然事件的概率等于l ②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题

③对立事件一定是互斥事件 ④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 。

12. 已知圆过椭圆
的右顶点和右焦点，圆心在此椭圆上，那么圆心到椭圆中心的距离是 。

13. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是

。

14. 已知双曲线
的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 。

三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15. （本小题满分8分）

在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09。计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率。

16. （本小题满分8分）

对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m／s）的数据如下表。

甲

27

38

30

37

35

31



乙

33

29

38

34

28

36



（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息?

（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m／s）数据的平均数、中位数、方差，并判断选谁参加比赛更合适。

17. （本小题满分9分）

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点。

（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；

（Ⅱ）求四面体B1C1CD的体积。

18. （本小题满分9分）

2013年某市某区高考文科数学成绩抽样统计如下表：

（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（纵坐标保留了小数点后四位小数）

（Ⅱ）若2013年北京市高考文科考生共有20000人，试估计全市文科数学成绩在90分及90分以上的人数；

（Ⅲ）香港某大学对内地进行自主招生，在参加面试的学生中，有7名学生数学成绩在140分以上，其中男生有4名，要从7名学生中录取2名学生，求其中恰有1名女生被录取的概率。

19. （本小题满分10分）

己知椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线
与椭圆C交于不同两点M，N。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线
斜率为1，求线段MN的长；

（III）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y的取值范围。

北京市东城区（南片）2013—2014学年上学期高二年级期末考试

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. A 2. A 3. B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. B

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。）

9. 13 10. ①③④ 11.
12.
13. (4，5) 14. 2

三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15. （本小题满分8分）

解：分别记该战士的打靶成绩在9分以上、在8～9分、在7～8分、在6～7分分别为事件B、C、D、E，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，该战士的打靶成绩在8分以上的概率是

P（B
C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69。 6分

该战士打靶及格的概率，即成绩在6分以上的概率，由公式得

P（B
C
D
E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93。 8分

16. （本小题满分8分）

解：（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数。从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好。 5分

（2）
，
；
甲的中位数是33，乙的中位数是33.5。乙的成绩比甲稳定，综合比较选乙参加比赛较为合适。 8分

17. （本小题满分9分）

（Ⅰ）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE。

∵三棱柱ABC－A1B1C1，CC1⊥底面ABC，

CC1＝BC＝2，

∴四边形BCC1B1为正方形。

∴E为BC1中点。

∵D是AB的中点，

∴DE∥AC1。

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1。 4分

解（Ⅱ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，

∵CC1⊥平面ACB

DF平面ACB，

∴CC1⊥DF。

∵BC
CC1＝C

∴DF⊥平面BCC1B1。

∴DF是三棱锥D－CC1B1的高，

∵AC＝BC＝CC1＝2

∴
DF＝1。

∴四面体B1C1CD的体积为
。 9分

18. （本小题满分9分）

解：（Ⅰ）

，则M＝1000，m＝436，n＝0.436，N＝0.220。 5分

（Ⅱ）设全市文科数学成绩在90及90分以上的人数为x，则
，x＝13120。

7分

（Ⅲ）设4名男生分别表示为A1、A2、A3、A4，3名女生分别表示为B1、B2、B3则从7名学生中录取2名学生的基本事件有：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），

（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，A4），

（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），

（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共21种

设“选2人恰有1名女生”为事件A，有：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），

（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），

共12种，

则
。

故7人中录取2人恰有1人为女生的概率为
。 9分

19. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题意：
，
，

，

所求椭圆方程为
。 3分

（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：
。

由
得
，

所以
。 7分

（Ⅲ）当
轴时，显然
。

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为
。

由
消去y整理得
。

设
，
，线段MN的中点为
，

则
。

所以
，

线段MN的垂直平分线方程为

在上述方程中令x＝0，得

当
时，
；当
时，
。

所以
，或
。

综上，y0的取值范围是
。 10分