一，选择题（共12题，每题5分）

1.观察下列各式：

则
（ ）[来源:学科网]

A．28 B．76 C．123 D．199

2，观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为(　　)．

A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125

3．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋(　　)．

A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

4，下列命题中的假命题是(　　)．

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数

5，用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)．

A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3

6，已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1
)＋ln x，则f′(1)＝(　　)．

A．－e B．－1 C．1 D．e

7，等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)．

A．26 B．29 C．212
D．215

8．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1
为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)．

9，若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)．

A．2 B．3 C．6 D．9

10，设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的(　　)．

充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11，已知函数f(x)＝mx3＋nx2在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）．

A [－2，－1] B[－2，0] C （－3，－1] D （－3，－1）

12，设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（ ）．

A 0 B 2 C 4 D 1

二，填空题（共4题，每题5分）

13，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.

14．已知结论：“在正三角形ABC中，若
D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．
若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝________.

15，已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

16，若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．

三，解答题（共六题，其中第17题10分，第18，19，20，21，22题各12分）

17，解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．(10分)

18，某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；

(3)求＋＋＋…＋的值．(12分)

[来源:Z#xx#k.Com]

19，（1）已知a＋b＋c＝1，求证：ab＋bc＋ca≤.

（2）已知a＞0，求证：－≥a＋－2.

20，统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－ x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？(12分)

21，设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0
.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(12分)

22，已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．[来源:Zxxk.Com]

(1)当a≤时，讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)＝x2－2bx＋4，当a＝时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围
．(12分)

高二理数学月考试题答案

①当＞－1，即a＜－2时，原不等式等价于－1≤x≤；

②当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；

③当＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式等价于≤x≤－1.[来源:学科网ZXXK]

综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为；

18, 解　(1)f(5)＝41.

(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4
n.

因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?

f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)

＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)

＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝……

＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.

(3)当n≥2时，＝＝.

∴＋＋＋…＋＝1＋×



＝1＋＝－.

20, 解　(1)当x＝40(千米/时)时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)．要耗油×2.5＝17.5(升)．所以当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

(2)当速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝·＝x2＋－(0＜x≤120)．

h′(x)＝－＝(0＜x≤120)，

令h′(x)＝0，得x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．

∴当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.

因此h(x)在(0,120]上只有一个极值，也是它的最小值．

所以，当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线
与直线y
＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.

(ⅱ)当01>0，

x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

x∈(1，－1)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

x∈(－1，＋∞)时，h(
x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减．

(ⅲ)当a<0时，由于－1<0，

x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(
x)在(1，＋
∞)上单调递增；[来源:学,科,网]

当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当0

(2)因为a＝∈(0，
)，由(1)知x1＝1，x2＝3?(0,2)．

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝－.

由于“对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值－”．　(*)

又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1,2]，所以

①当b<1时，因为g(x)min＝g(1)＝5－2b>0，此时与(*)矛盾；

②当b∈[1,2]时，因为g(x)min＝4－b2≥0，同样与(*)矛盾；

③当b∈(2，＋∞)时，因为g(x)min＝g(2)＝8－4b，解不等式8－4b≤－，可得b≥.

综上，b的取值范围是[，＋∞)